Determine os pontos nos quais as seguintes funções assumem seus valores máximos e mínimos.
f(x, y)=x^2+y^2-x y+x+y na região x <= 0, y <= 0, x+y >=-3

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos da função
f(x,y)=x^2+y^2-xy+x+y
na região limitada por
x<= 0, y<= 0, x+y>= -3
Essa região é o triângulo convexo com vértices em (0,0), (-3,0) e (0,-3).
Conteúdo: otimização de funções de duas variáveis em região compacta, usando pontos críticos e análise de fronteiras.

Passo 2

Calculamos o gradiente e igualamos a zero para encontrar pontos críticos interiores.
partial fpartial x=2x-y+1, partial fpartial y=2y-x+1
Igualando a zero:
2x - y + 1 = 0, -,x + 2y + 1 = 0
Da segunda temos x=2y+1. Substituindo na primeira:
2(2y+1)-y+1=0;Rightarrow;4y+2-y+1=0;Rightarrow;3y=-3;Rightarrow;y=-1,
logo x=2(-1)+1=-1. O ponto crítico é (-1,-1).

Passo 3

Avaliamo o Hessiano em (-1,-1):
H=2 & -1-1&2,
cujos autovalores são positivos (det H=3>0 e 2>0), portanto é mínimo local. Como a região é compacta, pode ser mínimo global.

Passo 4

Calculamos o valor de f no ponto crítico:
f(-1,-1)=(-1)^2+(-1)^2-(-1)(-1)+(-1)+(-1)=1+1-1-2=-1

Passo 5

Analisamos as fronteiras sobre os eixos:
1. Para y=0 e -3<= x<=0:
f(x,0)=x^2+x, f'(x)=2x+1=0Rightarrow x=-tfrac12,
f(-tfrac12,0)=-tfrac14, f(0,0)=0, f(-3,0)=6
2. Para x=0 e -3<= y<=0, por simetria:
f(0,y)=y^2+y, y=-tfrac12Rightarrow f(0,-tfrac12)=-tfrac14,
f(0,0)=0, f(0,-3)=6

Passo 6

Analisamos a fronteira oblíqua x+y=-3. Seja y=-3-x com -3<= x<=0:
f(x,-3-x)=x^2+(-3-x)^2-x(-3-x)+x+(-3-x)=3x^2+9x+6
Derivada: 6x+9=0Rightarrow x=-tfrac32, dando
f(-tfrac32,-tfrac32)=3l(tfrac94r)-tfrac272+6=-tfrac34
Nos vértices desta aresta temos f(-3,0)=6 e f(0,-3)=6.

Passo 7

Reunindo todos os valores:
  • candidato mínimo interior: f(-1,-1)=-1
  • menores na fronteira: -tfrac34 e -tfrac14
  • maiores: 6 nos vértices (-3,0) e (0,-3)
Portanto, o mínimo global é -1 em (-1,-1) e o máximo global é 6 nos pontos (-3,0) e (0,-3).

Resposta

Mínimo em (-1,-1) com f(-1,-1)=-1.
Máximos em (-3,0) e (0,-3) com f=6.

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