Escreva a expansão da série binomial de (1+x)^k. Qual é o raio de convergência desta série?

Quiz Verdadeiro-Falso

1
Se lim n infty an=0, então sum an é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para: 1) escrever a expansão em série de potências (série binomial de Newton generalizada) de (1+x)^k, 2) determinar o raio de convergência dessa série e 3) julgar a afirmação “se limntoinftyan=0, então sum an é convergente” como verdadeira ou falsa. Vamos usar séries de potências, o coeficiente binomial generalizado e o teste da razão para convergência.

Passo 2

Por definição de Newton para expoentes reais ou complexos, o coeficiente binomial generalizado é dado por
binomkn = k (k-1) (k-2) cdots (k-n+1)n!,
para n>=1 e binomk0=1. Substituindo na série de potências, obtemos
(1+x)^k = sumn=0^infty binomkn , x^n

Passo 3

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão de Cauchy. Seja an = binomknx^n. Então
|an+1an| = |x|cdot |k-n|n+1 xrightarrow[ntoinfty] |x|
O teste da razão exige lim|an+1/an|<1, logo |x|<1. Assim o raio de convergência é R=1.

Passo 4

Para o quiz verdadeiro-falso, a condição limntoinftyan=0 é necessária para que sum an tenha chance de convergir, mas não é suficiente. Um exemplo clássico é a série harmônica: an=1/n satisfaz limntoinftyan=0 e mesmo assim sum 1/n diverge. Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

A expansão em série de (1+x)^k é
(1+x)^k = sumn=0^infty binomkn , x^n,
com binomkn = tfrack(k-1)cdots(k-n+1)n!. O raio de convergência dessa série é R=1. A afirmação “se limntoinftyan=0, então sum an é convergente” é falsa.

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