Escreva a expansão da série binomial de . Qual é o raio de convergência desta série?
Quiz Verdadeiro-Falso
1
Se , então é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para: 1) escrever a expansão em série de potências (série binomial de Newton generalizada) de , 2) determinar o raio de convergência dessa série e 3) julgar a afirmação “se , então é convergente” como verdadeira ou falsa. Vamos usar séries de potências, o coeficiente binomial generalizado e o teste da razão para convergência.
Passo 2
Por definição de Newton para expoentes reais ou complexos, o coeficiente binomial generalizado é dado por
para e . Substituindo na série de potências, obtemos
Passo 3
Para achar o raio de convergência , aplicamos o teste da razão de Cauchy. Seja . Então
O teste da razão exige lim|an+1/an|<1, logo |x|<1. Assim o raio de convergência é R=1.
Passo 4
Para o quiz verdadeiro-falso, a condição limntoinftyan=0 é necessária para que sum an tenha chance de convergir, mas não é suficiente. Um exemplo clássico é a série harmônica: an=1/n satisfaz limntoinftyan=0 e mesmo assim sum 1/n diverge. Portanto a afirmação é falsa.
Resposta
A expansão em série de (1+x)^k é
(1+x)^k = sumn=0^infty binomkn , x^n,
com binomkn = tfrack(k-1)cdots(k-n+1)n!. O raio de convergência dessa série é R=1. A afirmação “se limntoinftyan=0, então sum an é convergente” é falsa.