Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y’’ + y’ - 12y = e^t + e^{2t} - 1,
e aplicar as condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=3. O conteúdo principal é EDO linear de 2º ordem com método de coeficientes indeterminados: vamos achar a solução geral como soma da solução homogênea e de uma particular.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea, que satisfaz
y’’ + y’ - 12y = 0.
A equação característica é
r^2 + r - 12 = 0,
cuja solução é r = 3 ou r = -4. Logo a solução homogênea é
y_h = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-4t}.
Passo 3
Para a parte particular, suponhamos y_p da forma
y_p = A e^t + B e^{2t} + D.
Substituindo em y’’ + y’ - 12y:
- Para A e^t: (1^2 + 1 - 12)A e^t = -10A e^t deve igualar e^t ⇒ A = -1/10.
- Para B e^{2t}: (2^2 + 2 - 12)B e^{2t} = -6B e^{2t} deve igualar e^{2t} ⇒ B = -1/6.
- Para D constante: -12D = -1 ⇒ D = 1/12.
Logo
y_p = -\tfrac{1}{10}e^t - \tfrac{1}{6}e^{2t} + \tfrac{1}{12}.
y_p = -\tfrac{1}{10}e^t - \tfrac{1}{6}e^{2t} + \tfrac{1}{12}.
Passo 4
A solução geral é
y = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-4t} + y_p.
Usando y(0)=1 e y’(0)=3, obtemos:
-
y(0)= C_1 + C_2 - \tfrac{1}{10} - \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{12} = 1,
-
y’(0)= 3C_1 - 4C_2 - \tfrac{1}{10} - \tfrac{1}{3} = 3.
Simplificando as constantes, o sistema vira
C_1 + C_2 = \tfrac{71}{60},
3C_1 - 4C_2 = \tfrac{103}{30}.
Passo 5
Resolvendo o sistema
C_1 + C_2 = \tfrac{71}{60},
3C_1 - 4C_2 = \tfrac{103}{30},
acha-se
C_1 = \tfrac{7}{6},
C_2 = \tfrac{1}{60}.
Passo 6
Com estes valores, temos a solução completa da EDO com as condições iniciais satisfeitas.