Calcule o volume da esfera centrada na origem x^2+y^2+z^2=R^2.
(0.75) Calculo o volume usando integral tripla.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume da esfera centrada na origem dada por x^2 + y^2 + z^2 = R^2. O conteúdo principal é cálculo de volume via integral tripla, e vamos usar coordenadas esféricas e o conceito de jacobiano para transformar dV de retangular para esférico.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi,
e o elemento de volume vira
dV = r^2sinphi,dr,dphi,dtheta
Aqui r é a distância à origem, phi o ângulo polar (de 0 a pi) e theta o azimutal (de 0 a 2pi).

Passo 3

O domínio da esfera em esféricas é 0 <= r <= R, 0 <= phi <= pi, 0 <= theta <= 2pi. Então o volume é
V = integral triplaV dV = integraltheta=0^2pi integralphi=0^pi integralr=0^R r^2sinphi,dr,dphi,dtheta

Passo 4

Agora a integral se separa em três partes:
integral0^2pi dtheta = 2pi,
integral0^pi sinphi,dphi = 2,
integral0^R r^2,dr = R^33
Multiplicando tudo, obtemos o volume da esfera.

Resposta

V = 4pi R^33

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