Calcule o volume da esfera de raio r centro ma origem.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume da esfera de raio
com centro na origem.
Informações dadas: o sólido é uma esfera de raio e centro na origem do sistema cartesiano.
Objetivo concreto: encontrar uma expressão numérica (fórmula) para o volume em função de
.
Informações dadas: o sólido é uma esfera de raio
Objetivo concreto: encontrar uma expressão numérica (fórmula) para o volume
Passo 2
Ideia básica (fatiamento por discos): imagine a esfera como empilhamento de discos circulares muito finos ao longo do eixo
. Cada disco está numa altura
e tem espessura infinitesimal
. O volume total é a soma (integral) das áreas desses discos vezes
. Agora vamos achar a área de um disco numa altura fixa
.
Passo 3
Equação da esfera e raio do disco transversal: a esfera centrada na origem e de raio
satisfaz
Para um disco na altura
fixo, os pontos do disco obedecem
. Portanto o raio do disco transversal (no plano
constante) é
Explicação rápida: fixando
, a interseção com o plano horizontal é um círculo cujo raio ao quadrado é
.
Passo 4
Área do disco em função de
: a área de um círculo de raio
é
. Substituindo
obtemos a área do disco
Volume como integral (soma dos volumes dos discos): portanto
Explicação do porquê: cada disco de espessura
tem volume aproximado
; integrando de
a
somamos todos os discos.
Passo 5
Uso de simetria para simplificar a integral: a função
é par (mesma valor para
e
), então
Assim
Isso reduz trabalho porque avaliamos apenas de
a
.
Passo 6
Calcular a primitiva e avaliar a integral: uma primitiva de
em relação a
é
Agora avaliamos de
até
:
Passo 7
Substituir no valor de
: lembrando do fator
que ficou no Passo 5,
Interpretação: o volume cresce como o cubo do raio, e o fator
é a constante universal do volume da esfera.
Passo 8
Por que escolhi este método? Usei o método dos discos (fatiamento) porque é direto e usa apenas integrais simples de uma variável — normalmente mais rápido e menos sujeito a erro em prova do que coordenadas esféricas (que exigem Jacobiano). As coordenadas esféricas dariam o mesmo resultado e são uma alternativa bonita: lá apareceriam os fatores geométricos naturalmente, mas exigem entender a mudança de variável e o elemento de volume
. Se quiser depois eu mostro essa derivação também.