Calcule o volume da esfera de raio r centro ma origem.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume da esfera de raio \,r com centro na origem.
Informações dadas: o sólido é uma esfera de raio \,r>0 e centro na origem do sistema cartesiano.
Objetivo concreto: encontrar uma expressão numérica (fórmula) para o volume V em função de \,r.

Passo 2

Ideia básica (fatiamento por discos): imagine a esfera como empilhamento de discos circulares muito finos ao longo do eixo z. Cada disco está numa altura z e tem espessura infinitesimal \,dz. O volume total é a soma (integral) das áreas desses discos vezes \,dz. Agora vamos achar a área de um disco numa altura fixa \,z.

Passo 3

Equação da esfera e raio do disco transversal: a esfera centrada na origem e de raio \,r satisfaz
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.
Para um disco na altura \,z fixo, os pontos do disco obedecem x^{2}+y^{2}\le r^{2}-z^{2}. Portanto o raio do disco transversal (no plano z= constante) é
R(z)=\sqrt{r^{2}-z^{2}}.
Explicação rápida: fixando z, a interseção com o plano horizontal é um círculo cujo raio ao quadrado é r^{2}-z^{2}.

Passo 4

Área do disco em função de \,z: a área de um círculo de raio R é \pi R^{2}. Substituindo R(z) obtemos a área do disco
A(z)=\pi\bigl(R(z)\bigr)^{2}=\pi\bigl(r^{2}-z^{2}\bigr).
Volume como integral (soma dos volumes dos discos): portanto
V=\int_{z=-r}^{r} A(z)\,dz=\int_{-r}^{r}\pi\bigl(r^{2}-z^{2}\bigr)\,dz.
Explicação do porquê: cada disco de espessura dz tem volume aproximado A(z)\,dz; integrando de -r a r somamos todos os discos.

Passo 5

Uso de simetria para simplificar a integral: a função r^{2}-z^{2} é par (mesma valor para z e -z), então
\int_{-r}^{r}\bigl(r^{2}-z^{2}\bigr)\,dz = 2\int_{0}^{r}\bigl(r^{2}-z^{2}\bigr)\,dz.
Assim
V=\pi\int_{-r}^{r}\bigl(r^{2}-z^{2}\bigr)\,dz = 2\pi\int_{0}^{r}\bigl(r^{2}-z^{2}\bigr)\,dz.
Isso reduz trabalho porque avaliamos apenas de 0 a r.

Passo 6

Calcular a primitiva e avaliar a integral: uma primitiva de \,r^{2}-z^{2} em relação a \,z é
\int\bigl(r^{2}-z^{2}\bigr)\,dz = r^{2}z - \frac{z^{3}}{3} + C.
Agora avaliamos de 0 até r:
\int_{0}^{r}\bigl(r^{2}-z^{2}\bigr)\,dz = \left[r^{2}z - \frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{r} = \bigl(r^{3}-\frac{r^{3}}{3}\bigr)-0 = \frac{2}{3}r^{3}.

Passo 7

Substituir no valor de V: lembrando do fator 2\pi que ficou no Passo 5,
V = 2\pi\cdot\frac{2}{3}r^{3} = \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Interpretação: o volume cresce como o cubo do raio, e o fator \frac{4}{3}\pi é a constante universal do volume da esfera.

Passo 8

Por que escolhi este método? Usei o método dos discos (fatiamento) porque é direto e usa apenas integrais simples de uma variável — normalmente mais rápido e menos sujeito a erro em prova do que coordenadas esféricas (que exigem Jacobiano). As coordenadas esféricas dariam o mesmo resultado e são uma alternativa bonita: lá apareceriam os fatores geométricos naturalmente, mas exigem entender a mudança de variável e o elemento de volume \,dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Se quiser depois eu mostro essa derivação também.

Resposta

\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}

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