Exercício 1. Sejam A, B, C, D e E, pontos. Prove que:
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} \Longrightarrow \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{B D}

Passo 1

O enunciado dá a igualdade vetorial \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} e pede para provar que \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{B D}.\n
Informações dadas:
  • Temos cinco pontos A,B,C,D,E (só precisamos de A,B,C,D aqui).
  • A hipótese é a igualdade entre os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CD}.\n
    O que precisamos mostrar:
  • Que, a partir dessa hipótese, segue a igualdade entre os vetores \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{BD}.\n

Passo 2

Vou explicar a linguagem vetorial que vou usar (pequena aula rápida e prática). Escolhemos um ponto O qualquer como origem (não precisa ser desenhado na prova), e associamos a cada ponto X o seu vetor posição \vec{X} (o vetor que vai de O até X).\n
Propriedade básica que usaremos: o vetor que vai de X até Y é a diferença dos vetores posição:
\overrightarrow{XY}=\vec{Y}-\vec{X}.
Isso é direto: para ir de O a Y você segue \vec{Y}; para ir de O a X segue \vec{X}; então para ir de X a Y você faz -\vec{X}+\vec{Y}, que é \vec{Y}-\vec{X}.\n
Outra coisa: podemos somar e subtrair vetores normalmente e multiplicar por -1 (inverte direção). Essas regras obedecem as regras usuais da álgebra vetorial.\n

Passo 3

Agora escrevo a hipótese \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} usando vetores posição. Pela propriedade acima:
\overrightarrow{AB}=\vec{B}-\vec{A},
\overrightarrow{CD}=\vec{D}-\vec{C}.
A hipótese vira a igualdade
\vec{B}-\vec{A}=\vec{D}-\vec{C}.

Passo 4

Faço manipulação algébrica elementar nas coordenadas vetoriais (isso é permitido porque vetores posição obedecem álgebra): subtraio \vec{B} dos dois lados e adiciono \vec{C} aos dois lados (ou reorganizo os termos). A igualdade anterior dá
\vec{B}-\vec{A}=\vec{D}-\vec{C}
\Longrightarrow -\vec{A}+\vec{C}=-\vec{B}+\vec{D}
(isto é obtido somando -\vec{B} e somando \vec{C} em ambos os lados). Reescrevendo,
\vec{C}-\vec{A}=\vec{D}-\vec{B}.

Passo 5

Interpreto cada lado como vetor entre pontos: \vec{C}-\vec{A} é exatamente \overrightarrow{AC} e \vec{D}-\vec{B} é \overrightarrow{BD}. Portanto a igualdade anterior é
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD},
que é o que queríamos demonstrar.\n
Geometricamente: a hipótese diz que os segmentos AB e CD têm mesma direção, sentido e comprimento (são vetores iguais). Ao ligar A a C e B a D obtemos dois vetores também com mesma direção, sentido e comprimento — é um fato típico de paralelogramos/traslações: deslocar um segmento no mesmo vetor preserva-o.\n

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a intuição (faça isso na prova se quiser checar com coordenadas): escolha \vec{A}=(0,0), \vec{B}=(1,2), \vec{C}=(3,0), \vec{D}=(4,2). Então
\overrightarrow{AB}=\vec{B}-\vec{A}=(1,2),
\overrightarrow{CD}=\vec{D}-\vec{C}=(1,2),
logo \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}. E
\overrightarrow{AC}=\vec{C}-\vec{A}=(3,0),
\overrightarrow{BD}=\vec{D}-\vec{B}=(3,0),
portanto \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD} confirma o resultado com números.\n
Vai dar tudo certo na prova — a chave é lembrar que \overrightarrow{XY}=\vec{Y}-\vec{X} e manipular as igualdades.\n

Resposta

\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}

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