Determine o volume do sólido limitado por \sqrt{x^{2}+y^{2}}-1 \leq z \leq \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}(2,5 pontos)
Dica ( Limitado entre uma cone e uma esfera- Use coordenadas Cilíndricas)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
\sqrt{x^{2}+y^{2}}-1 \leq z \leq \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A superfície inferior é z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}-1. Note que \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r em coordenadas cilíndricas, logo a superfície inferior é z=r-1.
  • A superfície superior é z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}. Em coordenadas cilíndricas isso é z=\sqrt{1-r^{2}}, que é a meia-esfera superior de raio 1 centrada na origem.
  • O sólido fica onde r-1 \le z \le \sqrt{1-r^{2}} e ainda dentro da região onde a esfera existe, isto é r^{2}\le 1 (ou 0\le r\le 1).
  • Precisamos encontrar a região de projeção no plano xy (valores de r e \theta) onde as duas superfícies se interceptam e o volume é válido.

Passo 2

Por que usar coordenadas cilíndricas? Explicação didática:
  • As superfícies envolvem \sqrt{x^{2}+y^{2}} e x^{2}+y^{2}, que em coordenadas cilíndricas ficam simples: r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • Em coordenadas cilíndricas as variáveis são (r,\theta,z) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Aqui r aparece como fator de escala (área do anel elemental), e é crucial incluí-lo nas integrais de volume.

Passo 3

Encontrar a curva de interseção entre as duas superfícies (projeção radial máxima):
Resolver
r-1 = \sqrt{1-r^{2}}.
Para resolver com cuidado, primeiro notamos que o lado direito é \ge 0. Se r-1<0 (isto é, r<1) é possível que a igualdade não ocorra, então procedemos a isolar e quadrar, verificando soluções extranhas depois.
Quadrando ambos os lados:
(r-1)^{2} = 1 - r^{2}.
Desenvolvendo:
r^{2} - 2r +1 = 1 - r^{2}.
Somando r^{2} aos dois lados:
2r^{2} - 2r = 0 \quad\Rightarrow\quad 2r(r-1)=0.
Daí obtemos as soluções r=0 e r=1. Agora verificar qual é válida na igualdade original:
  • Para r=1: r-1=0 e \sqrt{1-r^{2}}=0. Vale, então r=1 é ponto de interseção.
  • Para r=0: r-1=-1 e \sqrt{1-0}=1. A igualdade -1=1 é falsa; foi introduzida ao quadrar. Portanto r=0 é extrânea.
Conclusão: as superfícies se encontram em r=1, com z=0. A projeção radial do sólido é 0\le r\le 1. \theta varia por toda a volta: 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 4

Montar a integral de volume em coordenadas cilíndricas escolhendo ordem dz\,dr\,d\theta:
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=r-1}^{z=\sqrt{1-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Explicação: para cada (r,\theta) fixos na projeção ( 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi) o z varia entre a superfície inferior z=r-1 e a superior z=\sqrt{1-r^{2}}. O fator r vem do elemento de volume em cilíndricas.

Passo 5

Integrar primeiro em z:
\int_{z=r-1}^{\sqrt{1-r^{2}}} r\,dz = r\bigl(\sqrt{1-r^{2}} - (r-1)\bigr).
Portanto
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\bigl(\sqrt{1-r^{2}} - (r-1)\bigr)\,dr\,d\theta.
Como integrando em \theta é trivial (função não depende de \theta):
V = 2\pi \int_{0}^{1} r\bigl(\sqrt{1-r^{2}} - (r-1)\bigr)\,dr.

Passo 6

Separar a integral em duas partes e calcular passo a passo:
V = 2\pi\left(\int_{0}^{1} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr \;-\; \int_{0}^{1} r(r-1)\,dr\right).
Cálculo da primeira integral I_{1}:
Use a substituição u=1-r^{2}. Então du = -2r\,dr, ou r\,dr = -\dfrac{du}{2}.
Quando r=0 temos u=1; quando r=1 temos u=0.
Portanto
I_{1}=\int_{0}^{1} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr = \int_{u=1}^{0} \sqrt{u}\left(-\dfrac{du}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du.
Integrando:
\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{u^{3/2}}{3/2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}.
Cálculo da segunda integral I_{2}:
I_{2}=\int_{0}^{1} r(r-1)\,dr = \int_{0}^{1} (r^{2}-r)\,dr = \left[\dfrac{r^{3}}{3}-\dfrac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{6}.
Agora juntar:
\int_{0}^{1} r\bigl(\sqrt{1-r^{2}} - (r-1)\bigr)\,dr = I_{1} - I_{2} = \dfrac{1}{3} - \left(-\dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{1}{2}.

Passo 7

Multiplicar pelo fator 2\pi obtido ao integrar em \theta:
V = 2\pi \cdot \dfrac{1}{2} = \pi.
Checagem rápida de razoabilidade: o volume tem ordem de grandeza unidades cúbicas e fica menor que o volume da esfera de raio 1 (que é \tfrac{4}{3}\pi), faz sentido que seja menor; valor exato simples \pi é consistente com cálculos.

Resposta

\pi

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