Determine o volume do sólido limitado por
pontos)
Dica ( Limitado entre uma cone e uma esfera- Use coordenadas Cilíndricas)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A superfície inferior é
. Note que em coordenadas cilíndricas, logo a superfície inferior é . - A superfície superior é
. Em coordenadas cilíndricas isso é , que é a meia-esfera superior de raio centrada na origem. - O sólido fica onde
e ainda dentro da região onde a esfera existe, isto é (ou ). - Precisamos encontrar a região de projeção no plano
(valores de e ) onde as duas superfícies se interceptam e o volume é válido.
Passo 2
Por que usar coordenadas cilíndricas? Explicação didática:
- As superfícies envolvem
e , que em coordenadas cilíndricas ficam simples: e . - Em coordenadas cilíndricas as variáveis são
com , , . - O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
Aqui
aparece como fator de escala (área do anel elemental), e é crucial incluí-lo nas integrais de volume.
Passo 3
Encontrar a curva de interseção entre as duas superfícies (projeção radial máxima):
Resolver
Resolver
Para resolver com cuidado, primeiro notamos que o lado direito é
. Se
(isto é,
) é possível que a igualdade não ocorra, então procedemos a isolar e quadrar, verificando soluções extranhas depois.
Quadrando ambos os lados:
Desenvolvendo:
Somando
aos dois lados:
Daí obtemos as soluções
e
. Agora verificar qual é válida na igualdade original:
- Para
: e . Vale, então é ponto de interseção. - Para
: e . A igualdade é falsa; foi introduzida ao quadrar. Portanto é extrânea.
Conclusão: as superfícies se encontram em
, com
. A projeção radial do sólido é
.
varia por toda a volta:
.
Passo 4
Montar a integral de volume em coordenadas cilíndricas escolhendo ordem
:
Explicação: para cada
fixos na projeção (
,
) o
varia entre a superfície inferior
e a superior
. O fator
vem do elemento de volume em cilíndricas.
Passo 5
Integrar primeiro em
:
Portanto
Como integrando em
é trivial (função não depende de
):
Passo 6
Separar a integral em duas partes e calcular passo a passo:
Cálculo da primeira integral
:
Use a substituição . Então
, ou
.
Quando temos
; quando
temos
.
Portanto
Use a substituição
Quando
Portanto
Integrando:
Cálculo da segunda integral
:
Agora juntar:
Passo 7
Multiplicar pelo fator
obtido ao integrar em
:
Checagem rápida de razoabilidade: o volume tem ordem de grandeza unidades cúbicas e fica menor que o volume da esfera de raio 1 (que é
), faz sentido que seja menor; valor exato simples
é consistente com cálculos.