2[2,0 pontos] - Um fio de cobre ( n=8,49 \times 10^{28} \mathrm{e} / \mathrm{m}^{3} ) com \mathrm{L}=4,0 metros de comprimento e \mathrm{R}=3,0 \mathrm{~mm} de raio. Este fio possui uma resistência R=15,0 \mathrm{~m} \Omega e tem aplicada em suas extremidades uma diferença de potencial V=23,0 volts. a) Determine a corrente no fio. b) Calcule o módulo da densidade de corrente. c) Calcule a velocidade de deriva dos portadores de carga. d) Calcule a resistividade do material. e) Calcule a condutividade do material. f) Calcule o campo elétrico dentro do fio.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados fornecidos:
n = 8{,}49\times10^{28}\\ \mathrm{e}/\mathrm{m}^{3}
L = 4{,}0\\ \mathrm{m}
r = 3{,}0\\ \mathrm{mm} = 3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}
R_{\text{fio}} = 15{,}0\\ \mathrm{m}\Omega = 15{,}0\times10^{-3}\\ \Omega
V = 23{,}0\\ \mathrm{V}
Perguntas do enunciado (o que precisamos calcular):
a) A corrente no fio.
b) O módulo da densidade de corrente.
c) A velocidade de deriva dos portadores de carga.
d) A resistividade do material.
e) A condutividade do material.
f) O campo elétrico dentro do fio.

Passo 2

(a) Cálculo da corrente no fio usando a Lei de Ohm.
Explicação da fórmula: a Lei de Ohm diz que a diferença de potencial V aplicada a um resistor com resistência R_{\text{fio}} gera uma corrente I dada por
I=\frac{V}{R_{\text{fio}}}
onde I é a corrente em ampères ( \mathrm{A}), V é a tensão em volts ( \mathrm{V}) e R_{\text{fio}} é a resistência em ohms ( \Omega). Isso é direto: tensão dividida por resistência.
Cálculo numérico:
R_{\text{fio}} = 15{,}0\times10^{-3}\\ \Omega
I=\frac{23{,}0\\ \mathrm{V}}{15{,}0\times10^{-3}\\ \Omega} = \frac{23{,}0}{0{,}015}\\ \mathrm{A} =1533{,}3\\ \mathrm{A}

Passo 3

(b) Cálculo da área da secção transversal do fio e da densidade de corrente.
Explicação da área: o fio tem seção circular, então a área A é
A=\pi r^{2}
onde r é o raio.
Cálculo numérico da área:
r=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}
A=\pi (3{,}0\times10^{-3})^{2}=\pi \times 9{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2} =\;9\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2} \approx 2{,}827\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}
Explicação da densidade de corrente: a densidade de corrente \mathbf{J} no fio (módulo) é a corrente por unidade de área,
J=\frac{I}{A}
onde J tem unidades \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}.
Cálculo numérico:
J=\frac{1533{,}3\\ \mathrm{A}}{2{,}827\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}} \approx 5{,}42\times10^{7}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}

Passo 4

(c) Cálculo da velocidade de deriva v_{d}.
Explicação do conceito e fórmula: a velocidade de deriva é a velocidade média com que os portadores de carga (elétrons) se deslocam sob a ação do campo elétrico. A relação entre densidade de corrente, densidade de portadores e velocidade de deriva é
J = n q v_{d}
onde
  • J é a densidade de corrente em \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2},
  • n é a densidade numérica de portadores em \mathrm{partículas}/\mathrm{m}^{3}í,
  • q é a carga de cada portador (módulo), em coulombs ( \mathrm{C}),
  • v_{d} é a velocidade de deriva em \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Isolando v_{d}:
v_{d}=\frac{J}{n q}
Aqui os portadores são elétrons, então usamos q=e, a carga elementar:
e = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}
Cálculo numérico:
n = 8{,}49\times10^{28}\\ \mathrm{m}^{-3}
n e = 8{,}49\times10^{28}\times 1{,}602176634\times10^{-19} \approx 1{,}361\times10^{10}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}
v_{d}=\frac{5{,}42\times10^{7}}{1{,}361\times10^{10}}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 3{,}98\times10^{-3}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
Interpretação: isso é cerca de 3{,}98\\ \mathrm{mm}/\mathrm{s}, ou seja, a velocidade de deriva é pequena, da ordem dos milímetros por segundo — normal em condutores metálicos mesmo com correntes grandes.

Passo 5

(d) Cálculo da resistividade \rho do material a partir da resistência do fio.
Explicação da fórmula: a resistência de um fio homogêneo é dada por
R_{\text{fio}}=\rho\frac{L}{A}
onde \rho é a resistividade (em \Omega\cdot\mathrm{m}), L é o comprimento e A a área da secção transversal. Isolando \rho:
\rho = R_{\text{fio}}\frac{A}{L}
Cálculo numérico:
R_{\text{fio}}=15{,}0\times10^{-3}\\ \Omega,\quad A\approx 2{,}827\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2},\quad L=4{,}0\\ \mathrm{m}
\rho = \frac{15{,}0\times10^{-3}\times 2{,}827\times10^{-5}}{4{,}0}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} \approx 1{,}06\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
Comentário: esse valor é um pouco maior que o valor típico de cobre puro, o que indica que os números do enunciado levam a uma resistividade maior do que a literatura usual — tudo bem, usaremos os dados fornecidos.

Passo 6

(e) Cálculo da condutividade \sigma.
Explicação: condutividade é o inverso da resistividade:
\sigma = \frac{1}{\rho}
onde \sigma tem unidades \mathrm{S}/\mathrm{m} (siemens por metro).
Cálculo numérico:
\sigma = \frac{1}{1{,}06\times10^{-7}}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m} \approx 9{,}43\times10^{6}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}

Passo 7

(f) Cálculo do campo elétrico dentro do fio.
Explicação: se o campo elétrico ao longo do fio for aproximadamente uniforme (fio homogêneo e tensão aplicada nas extremidades), a relação entre diferença de potencial e campo elétrico é
E=\frac{V}{L}
onde E é o módulo do campo elétrico em \mathrm{V}/\mathrm{m}.
Cálculo numérico:
E=\frac{23{,}0\\ \mathrm{V}}{4{,}0\\ \mathrm{m}}=5{,}75\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}
Verificação rápida (consistência): como J=\sigma E,
\sigma E \approx 9{,}43\times10^{6}\times 5{,}75 \approx 5{,}42\times10^{7}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}
que coincide com o J calculado anteriormente (diferenças mínimas por arredondamento). Isso é um bom check.

Resposta

I=1{,}533\times10^{3}\\ \mathrm{A}
J=5{,}42\times10^{7}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}
v_{d}=3{,}98\times10^{-3}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
\rho=1{,}06\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
\sigma=9{,}43\times10^{6}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}
E=5{,}75\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}

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