2[2,0 pontos] - Um fio de cobre (
) com
metros de comprimento e
de raio. Este fio possui uma resistência
e tem aplicada em suas extremidades uma diferença de potencial
volts. a) Determine a corrente no fio. b) Calcule o módulo da densidade de corrente. c) Calcule a velocidade de deriva dos portadores de carga. d) Calcule a resistividade do material. e) Calcule a condutividade do material. f) Calcule o campo elétrico dentro do fio.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados fornecidos:
Perguntas do enunciado (o que precisamos calcular):
a) A corrente no fio.
b) O módulo da densidade de corrente.
c) A velocidade de deriva dos portadores de carga.
d) A resistividade do material.
e) A condutividade do material.
f) O campo elétrico dentro do fio.
a) A corrente no fio.
b) O módulo da densidade de corrente.
c) A velocidade de deriva dos portadores de carga.
d) A resistividade do material.
e) A condutividade do material.
f) O campo elétrico dentro do fio.
Passo 2
(a) Cálculo da corrente no fio usando a Lei de Ohm.
Explicação da fórmula: a Lei de Ohm diz que a diferença de potencial aplicada a um resistor com resistência
gera uma corrente
dada por
Explicação da fórmula: a Lei de Ohm diz que a diferença de potencial
onde
é a corrente em ampères (
),
é a tensão em volts (
) e
é a resistência em ohms (
). Isso é direto: tensão dividida por resistência.
Cálculo numérico:
Passo 3
(b) Cálculo da área da secção transversal do fio e da densidade de corrente.
Explicação da área: o fio tem seção circular, então a área é
Explicação da área: o fio tem seção circular, então a área
onde
é o raio.
Cálculo numérico da área:
Explicação da densidade de corrente: a densidade de corrente
no fio (módulo) é a corrente por unidade de área,
onde
tem unidades
.
Cálculo numérico:
Passo 4
(c) Cálculo da velocidade de deriva
.
Explicação do conceito e fórmula: a velocidade de deriva é a velocidade média com que os portadores de carga (elétrons) se deslocam sob a ação do campo elétrico. A relação entre densidade de corrente, densidade de portadores e velocidade de deriva é
Explicação do conceito e fórmula: a velocidade de deriva é a velocidade média com que os portadores de carga (elétrons) se deslocam sob a ação do campo elétrico. A relação entre densidade de corrente, densidade de portadores e velocidade de deriva é
onde
-
é a densidade de corrente em , -
é a densidade numérica de portadores em , -
é a carga de cada portador (módulo), em coulombs ( ), -
é a velocidade de deriva em .
Isolando
:
Aqui os portadores são elétrons, então usamos
, a carga elementar:
Cálculo numérico:
Interpretação: isso é cerca de
, ou seja, a velocidade de deriva é pequena, da ordem dos milímetros por segundo — normal em condutores metálicos mesmo com correntes grandes.
Passo 5
(d) Cálculo da resistividade
do material a partir da resistência do fio.
Explicação da fórmula: a resistência de um fio homogêneo é dada por
Explicação da fórmula: a resistência de um fio homogêneo é dada por
onde
é a resistividade (em
),
é o comprimento e
a área da secção transversal. Isolando
:
Cálculo numérico:
Comentário: esse valor é um pouco maior que o valor típico de cobre puro, o que indica que os números do enunciado levam a uma resistividade maior do que a literatura usual — tudo bem, usaremos os dados fornecidos.
Passo 6
(e) Cálculo da condutividade
.
Explicação: condutividade é o inverso da resistividade:
Explicação: condutividade é o inverso da resistividade:
onde
tem unidades
(siemens por metro).
Cálculo numérico:
Passo 7
(f) Cálculo do campo elétrico dentro do fio.
Explicação: se o campo elétrico ao longo do fio for aproximadamente uniforme (fio homogêneo e tensão aplicada nas extremidades), a relação entre diferença de potencial e campo elétrico é
Explicação: se o campo elétrico ao longo do fio for aproximadamente uniforme (fio homogêneo e tensão aplicada nas extremidades), a relação entre diferença de potencial e campo elétrico é
onde
é o módulo do campo elétrico em
.
Cálculo numérico:
Verificação rápida (consistência): como
,
que coincide com o
calculado anteriormente (diferenças mínimas por arredondamento). Isso é um bom check.