Calcule o volume de uma esfera de raio R usando o método das cascas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa calcular o volume de uma esfera com raio usando o método das cascas cilíndricas. Isso faz parte do cálculo integral, especificamente usando integrais para volumes de sólidos de rotação. O que vamos precisar é entender como aplicar o método das cascas cilíndricas para integrar e encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a esfera. Uma esfera de raio é simétrica em todas as direções, então podemos imaginar que estamos girando um círculo em torno de um eixo para formar a esfera. No método das cascas cilíndricas, a ideia é dividir a esfera em várias cascas fininhas, calcular o volume de cada casca e depois somar todos esses volumes.

Passo 3

Vamos considerar a esfera centrada na origem do sistema de coordenadas, com o eixo de rotação sendo, por exemplo, o eixo . A equação da esfera é . Para usar as cascas cilíndricas, preferimos integrar ao longo do eixo , considerando uma fatia vertical da esfera.

Passo 4

Uma casca cilíndrica em tem uma pequena espessura , uma altura e um raio em relação ao eixo . A altura vem da simetria da esfera, onde para cada , temos dois pontos no eixo .

Passo 5

Precisamos expressar em termos de usando a equação da esfera. A partir de , isolamos :
Então, a altura da casca é .

Passo 6

O volume de uma casca cilíndrica é dado por:
Substituindo os valores que temos:

Passo 7

Para encontrar o volume total da esfera, integramos de até . Mas, devido à simetria, podemos integrar de a e multiplicar por 2:

Passo 8

Para resolver a integral, fazemos uma substituição. Deixemos , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 9

Integrando :
Aplicando os limites:

Resposta

O volume da esfera de raio é .

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