Considere o campo vetorial
F(x, y) = (e^z, 2 y z, x e^z + y^2)
Se for conservativo, calcule varphi(x, y, z) tal que F = nabla phi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial dado por
A missão aqui é descobrir se esse campo é conservativo. Se for, a gente precisa encontrar uma função varphi(x, y, z) tal que
Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, tipo o rotacional. Se o rotacional de F for zero, então o campo é conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F, que é dado por:
Substituindo os componentes de F:

Agora, calculando cada componente do rotacional:

Então, o rotacional de F é zero:

Passo 3

Como o rotacional de F é zero, isso significa que o campo vetorial é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial varphi(x, y, z) tal que
Isso significa que:

Passo 4

Vamos integrar a primeira equação em relação a x para encontrar phi:
onde é uma função que depende de y e z.

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda equação:
Substituindo nossa expressão para phi:
Integrando isso em relação a y:
onde é uma função que depende só de z.

Passo 6

Agora, vamos usar a terceira equação:
Substituindo nossas expressões para phi e :
Isso implica que , então é uma constante. Vamos chamar de C.

Resposta

A função potencial é
onde C é uma constante.

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