Considere o campo vetorial
Determine se o campo
é conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um campo vetorial que depende das variáveis
,
e
:
Nossa missão é descobrir se esse campo
é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de campos conservativos e o cálculo do rotacional.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Simplificando, um campo é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de alguma função escalar. Uma das propriedades mais importantes dos campos conservativos é que seu rotacional é zero. Ou seja, se calcularmos o rotacional de
e der
, então
é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Onde
. No nosso caso:
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Passo 5
Juntando tudo, temos:
Como o rotacional de
é zero, isso indica que o campo
é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo.