Calcule o volume molar do líquido saturado e o volume molar do vapor saturado com a equação de Redlich/Kwong para uma das opções a seguir.
Propano a 60^{\circ} \mathrm{C}, para o qual Psat =21,22 bar.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume molar do líquido saturado e o volume molar do vapor saturado para propano a 60^{\circ}\mathrm{C} (temperatura dada) usando a equação de Redlich–Kwong, sabendo que a pressão de saturação é \;p_\text{sat}=21,22\\ \mathrm{bar}.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Temperatura:}\quad T = 60^{\circ}\mathrm{C} = 333,15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Pressão de saturação:}\quad p = p_\text{sat} = 21,22\\ \mathrm{bar},\\\ &\text{Substância: propano, com constantes críticas (valores padrão):}\\\ &\qquad T_c = 369,83\\ \mathrm{K},\qquad P_c = 42,48\\ \mathrm{bar}. \end{aligned}ãçãâíã
Vou usar a equação de Redlich–Kwong na forma para volume molar V_m:
p \;=\; \frac{R\,T}{V_m - b}\;-\;\frac{a}{\sqrt{T}\;V_m\;(V_m + b)}.
Não foi enviada nenhuma outra figura ou tabela; tudo que preciso está acima. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Apresentação didática da equação e das constantes a e b.
  • A equação de Redlich–Kwong (RK) é uma equação de estado cúbica que corrige o comportamento do gás ideal incluindo termos que representam o volume finito das moléculas (parâmetro b) e as forças atrativas entre elas (parâmetro a). A forma usada é
p \;=\; \frac{R\,T}{V_m - b}\;-\;\frac{a}{\sqrt{T}\;V_m\;(V_m + b)}.
  • R é a constante dos gases. Para manter as unidades coerentes com pressão em \mathrm{bar} e volumes em \mathrm{L/mol} uso
R = 0{,}08314\\ \mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Os parâmetros a e b da RK são dados por fórmulas empíricas (constantes numéricas padrão na forma RK):
a = 0{,}42748\,\frac{R^{2}\,T_c^{5/2}}{P_c},\qquad b = 0{,}08664\,\frac{R\,T_c}{P_c}.
Onde T_c e P_c são temperatura e pressão críticas do propano (fornecidas acima). Vou calcular a e b numericamente com essas fórmulas — é obrigatório obter esses parâmetros antes de resolver para V_m.

Passo 3

Cálculo de a e b (contas detalhadas, unidades coerentes).
  • Primeiro R^2:
R^2 = (0{,}08314)^2 = 0{,}0069122596\\ \mathrm{L^2\cdot bar^2\cdot mol^{-2}\cdot K^{-2}}.
  • Calcular T_c^{5/2} (ou T_c^{2{,}5}):
T_c = 369{,}83\\ \mathrm{K},\qquad T_c^{2} = 136774{,}2289\\ \mathrm{K^2},
\sqrt{T_c}\approx 19{,}231\\ \mathrm{K^{1/2}},\qquad T_c^{5/2} = T_c^{2}\sqrt{T_c} \approx 136774{,}2289\times 19{,}231 \approx 2{,}630300\times 10^{6}\\ \mathrm{K^{5/2}}.
  • Agora o numerador de a:
R^{2}T_c^{5/2} \approx 0{,}0069122596\times 2{,}630300\times 10^{6} \approx 18\,181{,}15\\ (\text{unidades compatíveis}).í
  • Finalmente
a = 0{,}42748\frac{18\,181{,}15}{42{,}48} \approx \frac{7\,772{,}08}{42{,}48} \approx 182{,}9\\ \mathrm{L^{2}\cdot bar\cdot mol^{-2}}.
  • Agora b:
R\,T_c = 0{,}08314\times 369{,}83 \approx 30{,}7477\\ \mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}},
b = 0{,}08664\frac{30{,}7477}{42{,}48} \approx \frac{2{,}66398}{42{,}48} \approx 0{,}0627\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.
Resumo numérico dos parâmetros (arredondados de forma razoável):
a \approx 182{,}9\\ \mathrm{L^{2}\cdot bar\cdot mol^{-2}},\qquad b \approx 0{,}0627\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.

Passo 4

Montagem da equação numérica a ser resolvida e estratégia de solução.
Colocando os valores na equação de RK obtemos (para função f(V_m) cuja raiz procuramos):
f(V_m)=\frac{R\,T}{V_m - b}-\frac{a}{\sqrt{T}\,V_m\,(V_m+b)}-p,
com os valores numéricos:
R\,T = 0{,}08314\times 333{,}15 \approx 27{,}6921\\ \mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}},
\frac{a}{\sqrt{T}} \approx \frac{182{,}9}{\sqrt{333{,}15}}\approx \frac{182{,}9}{18{,}257}\approx 10{,}019\\ \mathrm{L^{2}\cdot bar\cdot mol^{-2}\cdot K^{-1/2}}.
Portanto a equação a resolver é
f(V_m)=\frac{27{,}6921}{V_m - 0{,}0627}-\frac{10{,}019}{V_m(V_m+0{,}0627)}-21{,}22=0.
Comentário sobre método numérico: a equação em V_m é cúbica e geralmente tem até três raízes reais (regiões líquido, vapor e uma raiz intermediária instável). Vou encontrar as duas raízes físicas relevantes (a de pequeno V_m = líquido e a de maior V_m = vapor) usando uma busca por interpolação/bisseção e poucas iterações (método simples, robusto e suficiente para prova). Em prova você pode usar bisseção/secante/Newton dependendo das ferramentas; aqui faço passos explícitos por tentativa e ajuste até convergência razoável.

Passo 5

Resolução numérica para o volume molar do líquido saturado (raiz pequena).
Escolhi um palpite inicial para V_m líquido entre 0{,}10 e 0{,}20\\ \mathrm{L/mol} e avaliei f(V_m):
  • Em V_m=0{,}10:
f(0{,}10)=\frac{27{,}6921}{0{,}10-0{,}0627}-\frac{10{,}019}{0{,}10(0{,}10+0{,}0627)}-21{,}22 \approx 742{,}9-615{,}9-21{,}22\approx 105{,}8\\ (>0).
  • Em V_m=0{,}20:
f(0{,}20)\approx 201{,}7-190{,}7-21{,}22\approx -10{,}2\\ (<0).
Logo existe uma raiz entre 0{,}10 e 0{,}20. Refino por interpolação (ou método da secante):
  • Em V_m=0{,}13: f(0{,}13)\approx -9{,}5.
  • Em V_m=0{,}122: f(0{,}122)\approx +1{,}0.
  • Em V_m=0{,}1225: f(0{,}1225)\approx +0{,}6.
  • Em V_m=0{,}1230: f(0{,}1230)\approx -0{,}42.
Interpolando entre 0{,}1225 (com f\approx +0{,}6) e 0{,}1230 (com f\approx -0{,}42) obtemos uma raiz aproximada
V_{m,\text{líq}}\approx 0{,}1228\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.í
Verificação rápida: substituir V_m=0{,}1228 na expressão dá f muito próximo de zero (ordem de 10^{-3} a 10^{-2}), o que é aceitável para precisão de prova manual.
Interpretação física rápida (útil para prova): esse volume corresponde a densidade \rho = \dfrac{M}{V_m} com massa molar do propano M\approx 44{,}10\\ \mathrm{g/mol}, então \rho_\text{líq}\approx 44{,}10/0{,}1228\approx 359\\ \mathrm{g/L}í (ou 0{,}359\\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}), um valor razoável para líquido.

Passo 6

Resolução numérica para o volume molar do vapor saturado (raiz maior).
Para o vapor, um palpite inicial é o volume ideal \displaystyle V_{m,\text{ideal}}=\frac{R\,T}{p}=\frac{27{,}6921}{21{,}22}\approx 1{,}304\\ \mathrm{L/mol}. Avaliando f vemos que a raiz real para vapor fica em volta de 1{,}0 a 0{,}9\\ \mathrm{L/mol} (pois comportamento real difere do ideal acá).
Avaliações:
  • Em V_m=1{,}304: f\approx -4{,}53 (negativo).
  • Em V_m=0{,}90: f\approx +0{,}294.
  • Em V_m=1{,}00: f\approx -1{,}09.
Há uma raiz entre 0{,}90 e 1{,}00. Refino:
  • Em V_m=0{,}92: calculei f(0{,}92)\approx +0{,}007.
  • Em V_m=0{,}93: f(0{,}93)\approx -0{,}147.
Interpolando entre 0{,}92 e 0{,}93 (valores de f muito próximos de zero) obtenho raiz aproximada por linearização:
V_{m,\text{vap}}\approx 0{,}920\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.
Verificação: substituir V_m\approx 0{,}920 na função f f muito próximo de zero (algumas unidades em 10^{-3}), suficiente para a precisão manual típica.
Observação física: o volume molar do vapor real aqui é menor que o volume ideal calculado ( \approx 1{,}304\\ \mathrm{L/mol}); isso ocorre porque as interações intermoleculares (termo atração em RK) e o volume finito (termo b) alteram o comportamento do gás em relação ao ideal.

Passo 7

Resumo dos resultados com arredondamento apropriado e incentivo final.
Valores obtidos (arredondados com precisão adequada para prova):
V_{m,\text{líq}}\approx 0{,}1228\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}},\qquad V_{m,\text{vap}}\approx 0{,}920\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.í
Se quiser, na prova você pode apresentar esses valores com duas ou três casas decimais significativas conforme solicitado. Mandando ver: você já tem o procedimento para calcular a,b, montar f(V_m) e usar bisseção/secante/Newton para achar as raízes — repita esse passo-a-passo para outras substâncias.

Resposta

V_{m,\text{líq}} \approx 0{,}1228\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}í
V_{m,\text{vap}} \approx 0{,}920\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}

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