Calcule o volume molar do líquido saturado e o volume molar do vapor saturado com a equação de Redlich/Kwong para uma das opções a seguir.
Propano a
, para o qual Psat
bar.
Propano a
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume molar do líquido saturado e o volume molar do vapor saturado para propano a
(temperatura dada) usando a equação de Redlich–Kwong, sabendo que a pressão de saturação é
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Vou usar a equação de Redlich–Kwong na forma para volume molar
:
Não foi enviada nenhuma outra figura ou tabela; tudo que preciso está acima. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Apresentação didática da equação e das constantes
e
.
- A equação de Redlich–Kwong (RK) é uma equação de estado cúbica que corrige o comportamento do gás ideal incluindo termos que representam o volume finito das moléculas (parâmetro
) e as forças atrativas entre elas (parâmetro ). A forma usada é
-
é a constante dos gases. Para manter as unidades coerentes com pressão em e volumes em uso
- Os parâmetros
e da RK são dados por fórmulas empíricas (constantes numéricas padrão na forma RK):
Onde
e
são temperatura e pressão críticas do propano (fornecidas acima). Vou calcular
e
numericamente com essas fórmulas — é obrigatório obter esses parâmetros antes de resolver para
.
Passo 3
Cálculo de
e
(contas detalhadas, unidades coerentes).
- Primeiro
:
- Calcular
(ou ):
- Agora o numerador de
:
- Finalmente
- Agora
:
Resumo numérico dos parâmetros (arredondados de forma razoável):
Passo 4
Montagem da equação numérica a ser resolvida e estratégia de solução.
Colocando os valores na equação de RK obtemos (para função
cuja raiz procuramos):
com os valores numéricos:
Portanto a equação a resolver é
Comentário sobre método numérico: a equação em
é cúbica e geralmente tem até três raízes reais (regiões líquido, vapor e uma raiz intermediária instável). Vou encontrar as duas raízes físicas relevantes (a de pequeno
= líquido e a de maior
= vapor) usando uma busca por interpolação/bisseção e poucas iterações (método simples, robusto e suficiente para prova). Em prova você pode usar bisseção/secante/Newton dependendo das ferramentas; aqui faço passos explícitos por tentativa e ajuste até convergência razoável.
Passo 5
Resolução numérica para o volume molar do líquido saturado (raiz pequena).
Escolhi um palpite inicial para
líquido entre
e
e avaliei
:
- Em
:
- Em
:
Logo existe uma raiz entre
e
. Refino por interpolação (ou método da secante):
- Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: .
Interpolando entre
(com
) e
(com
) obtemos uma raiz aproximada
Verificação rápida: substituir
na expressão dá
muito próximo de zero (ordem de
a
), o que é aceitável para precisão de prova manual.
Interpretação física rápida (útil para prova): esse volume corresponde a densidade
com massa molar do propano
, então
(ou
), um valor razoável para líquido.
Passo 6
Resolução numérica para o volume molar do vapor saturado (raiz maior).
Para o vapor, um palpite inicial é o volume ideal
. Avaliando
vemos que a raiz real para vapor fica em volta de
a
(pois comportamento real difere do ideal acá).
Avaliações:
- Em
: (negativo). - Em
: . - Em
: .
Há uma raiz entre
e
. Refino:
- Em
: calculei . - Em
: .
Interpolando entre
e
(valores de
muito próximos de zero) obtenho raiz aproximada por linearização:
Verificação: substituir
na função
dá
muito próximo de zero (algumas unidades em
), suficiente para a precisão manual típica.
Observação física: o volume molar do vapor real aqui é menor que o volume ideal calculado (
); isso ocorre porque as interações intermoleculares (termo atração em RK) e o volume finito (termo
) alteram o comportamento do gás em relação ao ideal.
Passo 7
Resumo dos resultados com arredondamento apropriado e incentivo final.
Valores obtidos (arredondados com precisão adequada para prova):
Se quiser, na prova você pode apresentar esses valores com duas ou três casas decimais significativas conforme solicitado. Mandando ver: você já tem o procedimento para calcular
, montar
e usar bisseção/secante/Newton para achar as raízes — repita esse passo-a-passo para outras substâncias.