Calcule o volume do paralelepípedo cujos vértices são determinados por w=(3,2,-1) v=(-1,1,-4) e u=(2,-1,-3).

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores vec w=(3,2,-1), vec v=(-1,1,-4) e vec u=(2,-1,-3). Em geometria vetorial, esse volume é dado pelo valor absoluto do produto misto, isto é
V = l|vec wcdot(vec vtimes vec u)r|
Para resolver, vamos (1) calcular vec vtimesvec u usando produto vetorial e depois (2) fazer o produto escalar com vec w, tomando o valor absoluto do resultado.

Passo 2

Calcular o produto vetorial vec vtimesvec u. Usamos a definição via determinante
vec vtimes vec u = i & j & k -1 & 1 & -4 2 & -1 & -3
Desenvolvendo por cofactores, obtemos
vec vtimes vec u = i,(1cdot(-3)-(-4)cdot(-1)) - j,((-1)cdot(-3)-(-4)cdot 2) + k,((-1)cdot(-1)-1cdot 2)
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vec vtimes vec u =(,-3-4,;-(3-(-8)),;1-2) =(-7,,-11,,-1)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de vec w com vec vtimesvec u:
vec wcdot(vec vtimesvec u) =(3,2,-1)cdot(-7,-11,-1) =3cdot(-7)+2cdot(-11)+(-1)cdot(-1) =-21-22+1=-42

Passo 4

O volume é o valor absoluto do produto misto:
V=l|vec wcdot(vec vtimesvec u)r|=|-42|=42

Resposta

42

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