Calcule o volume do tetraedro A B C D onde A=(1,0,0) e B=(0,1,-1) e C=(0,0,1) e D=(3,4,5)

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices de um tetraedro A B C D em R^3:
A=(1,0,0), B=(0,1,-1), C=(0,0,1), D=(3,4,5)
Queremos o volume V desse tetraedro. A teoria diz que
V = 16,l|detl(AB,,AC,,ADr)r|
Portanto, vamos calcular o determinante do triplo de vetores AB,AC,AD.

Passo 2

Primeiro obtemos os vetores a partir de A:
AB = B - A = (0,1,-1) - (1,0,0) = (-1,1,-1),
AC = C - A = (0,0,1) - (1,0,0) = (-1,0,1),
AD = D - A = (3,4,5) - (1,0,0) = (2,4,5)

Passo 3

Montamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
M = -1 & -1 & 2 1 & 0 & 4 -1 & 1 & 5
Usando expansão de Laplace pela primeira linha,
det M = (-1)l(0cdot5 - 4cdot1r) - (-1)l(1cdot5 - 4cdot(-1)r) + 2l(1cdot1 - 0cdot(-1)r).
Isso dá
det M = (-1)(-4) - (-1)(9) + 2(1) = 4 + 9 + 2 = 15

Passo 4

Finalmente, o volume do tetraedro é
V = 16,l|det Mr| = 16times 15 = 156 = 52

Resposta

O volume do tetraedro A B C D é tfrac52.

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