Questão Avaliativa (Para ser entregue de forma digitalizada e por e-mail):
  1. Seja V o conjunto de todos os números reais, ou seja, V=R. Determine se V é um espaço vetorial com as operações mostradas abaixo: lx+y=x+y+1 alpha cdot x=alpha x+alpha-1. Verifique cada axioma de espaço vetorial; para os axiomas que não forem válidos (caso ocorram) identifique-os a partir de um contraexemplo. (Apresente todos os cálculos/etapas. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 2,0 ptos).
    Ministério da Educação
    INSTITUTO FEDERAL
    Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
    Santa Catarina
    INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA
A1 - Comutativa (u, v in V u+v=v+u)
A2 - Associativa (u, v, w in V u+(v+w)=(u+v)+w)
A3 - Elemento Neutro (exists 0 in V u+0=u)
A4 - Oposto (exists-u in V u+(-u)=0)
Multiplicação por um Escalar
M1 - Distributiva (u, v in V e alpha in R alpha(u+v)=alpha u+alpha v
Ministério da Educação
INSTITUTO FEDERAL
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
Santa Catarina
INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA
M2 - Distributiva (u in V e alpha, beta in R (alpha+beta) u=alpha u+beta u)
M3 - Associativa (u in V e alpha, beta in R (alpha beta) u=alpha(beta u))
M4 - Elemento Neutro (u in V e exists 1 in R 1 u=u)

Passo 1

O enunciado define em V=R as operações
xoplus y = x + y + 1,
alphaodot x = alpha x + alpha - 1
Precisamos verificar todos os axiomas de espaço vetorial: comutatividade e associatividade da soma (A1, A2), existência de elemento neutro e inverso aditivo (A3, A4), e as quatro propriedades da multiplicação por escalar (M1–M4).

Passo 2

Verificamos A1 (comutativa): para quaisquer x,yin V,
xoplus y = x + y + 1 e yoplus x = y + x + 1
Como x+y=y+x nos reais, conclui-se
xoplus y = yoplus x,
logo A1 vale.

Passo 3

Verificamos A2 (associativa): para x,y,zin V,
(xoplus y)oplus z = (x + y + 1)oplus z = (x + y + 1) + z + 1 = x + y + z + 2,
xoplus(yoplus z) = xoplus(y + z + 1) = x + (y + z + 1) + 1 = x + y + z + 2
Portanto (xoplus y)oplus z = xoplus(yoplus z), e A2 vale.

Passo 4

Verificamos A3 (neutro aditivo): buscamos thetain V tal que para todo x
xoplus theta = x
Isto é
x + theta + 1 = x ;Longrightarrow; theta = -1
De fato, para theta=-1,
xoplus(-1)=x-1+1=x,
logo o elemento neutro é -1 e A3 vale.

Passo 5

Verificamos A4 (inverso aditivo): dado x, precisamos de y com
xoplus y = theta = -1
Temos
x + y + 1 = -1 ;Longrightarrow; y = -x - 2
Logo todo x tem inverso -x -2, e A4 vale.

Passo 6

Verificamos M1 (distributiva escalar sobre soma vetorial): para alphainR e u,vin V,
alphaodot (uoplus v) = alphaodot(u + v +1) = alpha(u+v+1) + alpha -1 = alpha u + alpha v + 2alpha -1
Por outro lado,
alphaodot u oplus alphaodot v = (,alpha u + alpha -1,)oplus(,alpha v + alpha -1,) = alpha u + alpha -1 + alpha v + alpha -1 +1 = alpha u + alpha v + 2alpha -1
Assim M1 vale.

Passo 7

Verificamos M2 (distributiva soma de escalares): para alpha,betainR e uin V,
(alpha+beta)odot u = (alpha+beta)u + (alpha+beta) -1 = alpha u + beta u + alpha + beta -1,
alphaodot u oplus betaodot u = (alpha u + alpha -1)oplus(beta u + beta -1) = alpha u + alpha -1 + beta u + beta -1 +1 = alpha u + beta u + alpha + beta -1
Logo M2 vale.

Passo 8

Verificamos M3 (associativa com número real): para alpha,betainR e uin V,
(alphabeta)odot u = alphabeta,u + alphabeta -1,
alphaodot(betaodot u) = alphaodot(beta u + beta -1) = alpha(beta u + beta -1) + alpha -1 = alphabeta u + alphabeta - alpha + alpha -1 = alphabeta u + alphabeta -1
Portanto M3 vale.

Passo 9

Verificamos M4 (neutro escalar): para uin V,
1odot u = 1cdot u + 1 -1 = u
Logo M4 vale.

Resposta

Sim. Todas as oito propriedades (A1–A4 e M1–M4) se satisfazem, de modo que l(R,oplus,odotr) é um espaço vetorial sobre R.

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