Questão Avaliativa (Para ser entregue de forma digitalizada e por e-mail):
- Seja V o conjunto de todos os números reais, ou seja,
. Determine se V é um espaço vetorial com as operações mostradas abaixo:
. Verifique cada axioma de espaço vetorial; para os axiomas que não forem válidos (caso ocorram) identifique-os a partir de um contraexemplo. (Apresente todos os cálculos/etapas. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 2,0 ptos).
Ministério da Educação
INSTITUTO FEDERAL
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
Santa Catarina
INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA
A1 - Comutativa
A2 - Associativa
A3 - Elemento Neutro
A4 - Oposto
Multiplicação por um Escalar
M1 - Distributiva
Ministério da Educação
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M2 - Distributiva
e
M3 - Associativa
e
M4 - Elemento Neutro
e
Ministério da Educação
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M1 - Distributiva
Ministério da Educação
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Passo 1
O enunciado define em
as operações
Precisamos verificar todos os axiomas de espaço vetorial: comutatividade e associatividade da soma (A1, A2), existência de elemento neutro e inverso aditivo (A3, A4), e as quatro propriedades da multiplicação por escalar (M1–M4).
Passo 2
Verificamos A1 (comutativa): para quaisquer
,
Como
nos reais, conclui-se
logo A1 vale.
Passo 3
Verificamos A2 (associativa): para
,
Portanto
, e A2 vale.
Passo 4
Verificamos A3 (neutro aditivo): buscamos
tal que para todo
Isto é
De fato, para
,
logo o elemento neutro é
e A3 vale.
Passo 5
Verificamos A4 (inverso aditivo): dado
, precisamos de
com
Temos
Logo todo
tem inverso
, e A4 vale.
Passo 6
Verificamos M1 (distributiva escalar sobre soma vetorial): para
e
,
Por outro lado,
Assim M1 vale.
Passo 7
Verificamos M2 (distributiva soma de escalares): para
e
,
Logo M2 vale.
Passo 8
Verificamos M3 (associativa com número real): para
e
,
Portanto M3 vale.
Passo 9
Verificamos M4 (neutro escalar): para
,
Logo M4 vale.
Resposta
Sim. Todas as oito propriedades (A1–A4 e M1–M4) se satisfazem, de modo que
é um espaço vetorial sobre
.