Escreva a função
como uma função polinomial em cada intervalo de definição.
- PARA
- PARA
- PARA
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para escrevê-la como uma função polinomial (isto é, uma expressão sem valor absoluto) em cada intervalo onde os sinais das expressões internas aos módulos são fixos. As perguntas implícitas são:
- Que polinômio representa
quando ? - Que polinômio representa
quando ? - Que polinômio representa
quando ?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As expressões dentro dos módulos são
e . - Os pontos onde essas expressões mudam de sinal são
e . - Portanto os intervalos a analisar são
, e .
Passo 2
Relembrando a definição útil do valor absoluto (essa é a “fórmula mágica” que vamos usar): para qualquer número real
Significado das letras:
ou
). Essa definição diz que dentro de cada intervalo onde sabemos o sinal de
, podemos substituir o módulo por
(se for não negativo) ou por
(se for negativo). É por isso que quebramos a reta real onde os argumentos dos módulos mudam de sinal.]
Passo 3
Analisar o intervalo
.
Aqui
(porque
é menor que
) e também
(já que se
então certamente
). Aplicando a definição do módulo:
Somando:
Agora faz as contas passo a passo:
Portanto, para
a expressão correta é
.
Como checagem rápida, escolha
:
e
. Confere.
Passo 4
Analisar o intervalo
.
Aqui
(porque
é pelo menos
) e
(porque
). Então:
Somando:
Fazendo as contas:
Portanto, para
a função é constante
.
Checagem: em
temos
. Batem.
Passo 5
Analisar o intervalo
.
Aqui
e
. Então:
Somando:
Fazendo as contas:
Portanto, para
a expressão é
.
Checagem: em
temos
e
. OK.
Passo 6
Verificação de continuidade nos pontos de fronteira (opcional, mas útil para a prova):
- Limite pela esquerda em
: usando obtemos . - Valor em
pelo intervalo central: . - Limite pela direita em
: usando obtemos . - Valor em
pelo intervalo à direita: .
Assim
é contínua em
e
(os valores se juntam direitinho).
Resposta
Para
\quad
Para \quad
Para \quad
Para
Para