Escreva a função
f(x)=|x-1|+|x-2|
como uma função polinomial em cada intervalo de definição.
  1. PARA x<1
f(x)=-2 x-3
  1. PARA 1 \leq x<2
f(x)=1
  1. PARA x \geqslant 2
f(x)=2 x-3

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=|x-1|+|x-2|
e pede para escrevê-la como uma função polinomial (isto é, uma expressão sem valor absoluto) em cada intervalo onde os sinais das expressões internas aos módulos são fixos. As perguntas implícitas são:
  • Que polinômio representa f(x) quando x<1?
  • Que polinômio representa f(x) quando 1\le x<2?
  • Que polinômio representa f(x) quando x\ge 2?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As expressões dentro dos módulos são x-1 e x-2.
  • Os pontos onde essas expressões mudam de sinal são x=1 e x=2.
  • Portanto os intervalos a analisar são (-\infty,1), [1,2) e [2,\infty).

Passo 2

Relembrando a definição útil do valor absoluto (essa é a “fórmula mágica” que vamos usar): para qualquer número real a\), \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Significado das letras: a\] é qualquer expressão numérica (no nosso caso será \(x-1 ou x-2). Essa definição diz que dentro de cada intervalo onde sabemos o sinal de a, podemos substituir o módulo por a (se for não negativo) ou por -a (se for negativo). É por isso que quebramos a reta real onde os argumentos dos módulos mudam de sinal.]

Passo 3

Analisar o intervalo x<1.
Aqui x-1<0 (porque x é menor que 1) e também x-2<0 (já que se x<1 então certamente x<2). Aplicando a definição do módulo:
|x-1|=-(x-1)=1-x, \qquad |x-2|=-(x-2)=2-x.
Somando:
f(x)=|x-1|+|x-2|=(1-x)+(2-x).
Agora faz as contas passo a passo:
(1-x)+(2-x)=1+2 - x - x = 3 - 2x.
Portanto, para x<1 a expressão correta é f(x)=3-2x.
Como checagem rápida, escolha x=0: |0-1|+|0-2|=1+2=3 e 3-2\cdot 0=3. Confere.

Passo 4

Analisar o intervalo 1 \le x < 2.
Aqui x-1\ge 0 (porque x é pelo menos 1) e x-2<0 (porque x<2). Então:
|x-1|=x-1, \qquad |x-2|=-(x-2)=2-x.
Somando:
f(x)= (x-1) + (2-x).
Fazendo as contas:
(x-1)+(2-x)=x-1+2-x=(x-x)+(-1+2)=0+1=1.
Portanto, para 1\le x<2 a função é constante f(x)=1.
Checagem: em x=1{,}5 temos |1{,}5-1|+|1{,}5-2|=0{,}5+0{,}5=1. Batem.

Passo 5

Analisar o intervalo x\ge 2.
Aqui x-1\ge 0 e x-2\ge 0. Então:
|x-1|=x-1, \qquad |x-2|=x-2.
Somando:
f(x)=(x-1)+(x-2).
Fazendo as contas:
(x-1)+(x-2)=x+x -1 -2 = 2x -3.
Portanto, para x\ge 2 a expressão é f(x)=2x-3.
Checagem: em x=3 temos |3-1|+|3-2|=2+1=3 e 2\cdot 3 -3=3. OK.

Passo 6

Verificação de continuidade nos pontos de fronteira (opcional, mas útil para a prova):
  • Limite pela esquerda em x=1: usando f(x)=3-2x obtemos 3-2\cdot 1=1.
  • Valor em x=1 pelo intervalo central: f(1)=1.
  • Limite pela direita em x=2: usando f(x)=1 obtemos 1.
  • Valor em x=2 pelo intervalo à direita: 2\cdot 2 -3=1.
Assim f é contínua em x=1 e x=2 (os valores se juntam direitinho).

Resposta

Para x<1\quad f(x)=3-2x
Para 1\le x<2\quad f(x)=1
Para x\ge 2\quad f(x)=2x-3

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