O denominador é \left(4x^{2}+1\right)^{2}.
A tarefa é (1) decompor a função racional em frações parciais compatíveis com o fator irreducível quadrático repetido \left(4x^{2}+1\right)^{2} e (2) integrar termo a termo.
Passo 2
Regra prática para frações parciais quando o denominador tem um quadrado de um polinômio quadrático irreduzível: se o denominador é \left(4x^{2}+1\right)^{2}, a decomposição tem a forma
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Explicando por quê: para um fator quadrático irreduzível (q(x))^{2} os termos possíveis são \dfrac{\text{linear}}{q(x)} e \dfrac{\text{linear}}{q(x)^{2}}.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por \left(4x^{2}+1\right)^{2}\) para eliminar denominadores:
\[8x^{2}+8x+2=(Ax+B)(4x^{2}+1)+(Cx+D).
Expandindo o primeiro produto:
(Ax+B)(4x^{2}+1)=4A x^{3}+4B x^{2}+A x+B.
Somando Cx+D obtemos o polinômio
4A x^{3}+4B x^{2}+(A+C)x+(B+D).
Igualando coeficientes com 8x^{2}+8x+2 (que é 0\cdot x^{3}+8x^{2}+8x+2) temos o sistema:
Somando os resultados dos dois termos e combinando constantes de integração em uma única constante C, a primitiva da função original é
\arctan(2x)-\frac{1}{4x^{2}+1}+C.
Parabéns — a integral ficou bem simples depois de decompor em frações parciais! Você já consegue aplicar essa ideia em integrais com quadrados de quadráticos: tenta sempre separar parte proporcional ao derivado do denominador (aqui 8x é (4x^{2}+1)').