Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais.
24. int \frac{8 x^{2}+8 x+2}{\left(4 x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para expressar o integrando como soma de frações parciais e calcular a integral
\int \frac{8x^{2}+8x+2}{\left(4x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • O numerador é 8x^{2}+8x+2.
  • O denominador é \left(4x^{2}+1\right)^{2}.
    A tarefa é (1) decompor a função racional em frações parciais compatíveis com o fator irreducível quadrático repetido \left(4x^{2}+1\right)^{2} e (2) integrar termo a termo.

Passo 2

Regra prática para frações parciais quando o denominador tem um quadrado de um polinômio quadrático irreduzível: se o denominador é \left(4x^{2}+1\right)^{2}, a decomposição tem a forma
\frac{8x^{2}+8x+2}{\left(4x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{Ax+B}{4x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{\left(4x^{2}+1\right)^{2}},
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Explicando por quê: para um fator quadrático irreduzível (q(x))^{2} os termos possíveis são \dfrac{\text{linear}}{q(x)} e \dfrac{\text{linear}}{q(x)^{2}}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por \left(4x^{2}+1\right)^{2}\) para eliminar denominadores: \[8x^{2}+8x+2=(Ax+B)(4x^{2}+1)+(Cx+D).
Expandindo o primeiro produto:
(Ax+B)(4x^{2}+1)=4A x^{3}+4B x^{2}+A x+B.
Somando Cx+D obtemos o polinômio
4A x^{3}+4B x^{2}+(A+C)x+(B+D).
Igualando coeficientes com 8x^{2}+8x+2 (que é 0\cdot x^{3}+8x^{2}+8x+2) temos o sistema:
\begin{cases} 4A=0,\\[4pt] 4B=8,\\[4pt] A+C=8,\\[4pt] B+D=2. \end{cases}
Resolvendo:
  • 4A=0\Rightarrow A=0\]. - \(4B=8\Rightarrow B=2.
    - A+C=8\Rightarrow 0+C=8\Rightarrow C=8.
    - B+D=2\Rightarrow 2+D=2\Rightarrow D=0.]

Passo 4

Substituindo os coeficientes, a decomposição ficou
\frac{8x^{2}+8x+2}{\left(4x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{2}{4x^{2}+1}+\frac{8x}{\left(4x^{2}+1\right)^{2}}.
Portanto expressamos o integrando como soma de duas frações mais simples, prontas para integrar separadamente.

Passo 5

Integramos o primeiro termo:
\int \frac{2}{4x^{2}+1}\,dx = 2\int \frac{1}{4x^{2}+1}\,dx.
Lembrete (fórmula útil): para qualquer a>0,
\int \frac{1}{a^{2}x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{a}\arctan(ax)+C,
pois basta fazer a substituição u=ax, du=a\,dx. Aqui a=2, então
\int \frac{1}{4x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\arctan(2x)+C.
Multiplicando por 2 obtemos
\int \frac{2}{4x^{2}+1}\,dx=\arctan(2x)+C.

Passo 6

Agora o segundo termo:
\int \frac{8x}{\left(4x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Fazemos a substituição natural u=4x^{2}+1. Então du=8x\,dx. Assim o integral vira
\int \frac{8x\,dx}{u^{2}}=\int u^{-2}\,du.
Integrando,
\int u^{-2}\,du=-u^{-1}+C=-\frac{1}{u}+C.
Voltando a x,
\int \frac{8x}{\left(4x^{2}+1\right)^{2}}\,dx=-\frac{1}{4x^{2}+1}+C.

Passo 7

Somando os resultados dos dois termos e combinando constantes de integração em uma única constante C, a primitiva da função original é
\arctan(2x)-\frac{1}{4x^{2}+1}+C.
Parabéns — a integral ficou bem simples depois de decompor em frações parciais! Você já consegue aplicar essa ideia em integrais com quadrados de quadráticos: tenta sempre separar parte proporcional ao derivado do denominador (aqui 8x é (4x^{2}+1)').

Resposta

\arctan(2x)-\dfrac{1}{4x^{2}+1}+C

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