Calcule o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.
u=2 i+j, v=2 i-j+k, w=i+2 k

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w. Para isso, usamos o produto misto, isto é, o valor absoluto de
ucdot(vtimesw), que equivale ao determinante das coordenadas desses vetores na base canônica.

Passo 2

Em coordenadas na base (i,j,k), escrevemos
u = (2,,1,,0), v = (2,,-1,,1), w = (1,,0,,2)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial vtimesw pelo determinante:
vtimesw = i & j & k 2 & -1 & 1 1 & 0 & 2 =-2,i-3,j+1,k ;;longrightarrow;; vtimesw=(-2,,-3,,1)

Passo 4

Em seguida, fazemos o produto escalar de u com vtimesw:
ucdot(vtimesw) =(2,,1,,0)cdot(-2,,-3,,1) =2cdot(-2)+1cdot(-3)+0cdot1 =-7

Passo 5

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse produto misto:
Volume = l|ucdot(vtimesw)r| =|-7|=7

Resposta

7

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