(8 pontos) Derive a função f(x)=5 x^2+1csc (3 x)+2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a função $ f(x) = \frac{5x^{2} + 1}{\csc(3x) + 2} $. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a derivação de funções que são quocientes. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No caso, temos:
  • Numerador: $ u(x) = 5x^{2} + 1 $
  • Denominador: $ v(x) = \csc(3x) + 2 $

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a Regra do Quociente. Se temos uma função $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, a derivada $ f’(x) $ é dada por:
f(x) = u(x)v(x)
Então, precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.

Passo 4

Vamos começar com $ u(x) = 5x^{2} + 1 $. Derivando termo a termo:
u(x) = 5x^2 + 1
É bem direto, já que a derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $ e a constante desaparece.

Passo 5

Agora, vamos derivar $ v(x) = \csc(3x) + 2 $. Primeiro, notamos que a derivada de uma constante é zero, então precisamos apenas derivar $ \csc(3x) $.
Sabemos que:
v(x) = csc(3x) + 2
Aplicando isso:
csc(3x)

Passo 6

Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, podemos aplicar a Regra do Quociente:
u'(x)

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
f'(x) = 10x csc(3x) + 20x + 3(5x^2 + 1) cot(3x) csc(3x)(csc(3x) + 2)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 10x csc(3x) + 20x + 3(5x^2 + 1) cot(3x) csc(3x)(csc(3x) + 2)^2

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