pontos) Derive a função
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a função $ f(x) = \frac{5x^{2} + 1}{\csc(3x) + 2} $. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a derivação de funções que são quocientes. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No caso, temos:
- Numerador: $ u(x) = 5x^{2} + 1 $
- Denominador: $ v(x) = \csc(3x) + 2 $
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona a Regra do Quociente. Se temos uma função $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, a derivada $ f’(x) $ é dada por:
Então, precisamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.
Passo 4
Vamos começar com $ u(x) = 5x^{2} + 1 $. Derivando termo a termo:
É bem direto, já que a derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $ e a constante desaparece.
Passo 5
Agora, vamos derivar $ v(x) = \csc(3x) + 2 $. Primeiro, notamos que a derivada de uma constante é zero, então precisamos apenas derivar $ \csc(3x) $.
Sabemos que:
Aplicando isso:
Passo 6
Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, podemos aplicar a Regra do Quociente:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A derivada da função é: