Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \mathbf{a}, \mathbf{b} e \mathbf{c}.
\mathbf{a}=\langle 1,0,6\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle 2,3,-8\rangle, \quad \mathbf{c}=\langle 8,-5,6\rangle

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores dados. As informações fornecidas são:
  • \mathbf{a}=\langle 1,0,6\rangle
  • \mathbf{b}=\langle 2,3,-8\rangle
  • \mathbf{c}=\langle 8,-5,6\rangle
A pergunta é: qual é o volume desse paralelepípedo?

Passo 2

Ideia e fórmula que vou usar (explicação didática):
  • O volume do paralelepípedo determinado por três vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} em \mathbb{R}^3 é dado pelo valor absoluto do produto escalar triplo
\text{Volume}=\left|\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\right|.
  • Intuição: \mathbf{b}\times\mathbf{c} é um vetor perpendicular ao plano formado por \mathbf{b} e \mathbf{c} com magnitude igual à área do paralelogramo definido por \mathbf{b} e \mathbf{c}. Ao fazer \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) obtemos (com sinal) o volume do paralelepípedo; por isso tomamos o valor absoluto para ter um volume positivo.
  • Fórmula prática para o produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v}, com \mathbf{u}=\langle u_1,u_2,u_3\rangle e \mathbf{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle, é
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\langle u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\rangle.
Vou primeiro calcular \mathbf{b}\times\mathbf{c} e depois o produto escalar com \mathbf{a}.
(Pequeno exemplo para fixar: se \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} fossem os vetores canônicos \langle1,0,0\rangle,\langle0,1,0\rangle,\langle0,0,1\rangle, então \mathbf{b}\times\mathbf{c}=\langle1,0,0\rangle e \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=1, então o volume é 1.)

Passo 3

Calcular \mathbf{b}\times\mathbf{c}. Com \mathbf{b}=\langle 2,3,-8\rangle e \mathbf{c}=\langle 8,-5,6\rangle, aplicando a fórmula componente a componente:
(\mathbf{b}\times\mathbf{c})_1 = b_2 c_3 - b_3 c_2 = 3\cdot6 - (-8)\cdot(-5) = 18 - 40 = -22,
(\mathbf{b}\times\mathbf{c})_2 = b_3 c_1 - b_1 c_3 = (-8)\cdot8 - 2\cdot6 = -64 - 12 = -76,
(\mathbf{b}\times\mathbf{c})_3 = b_1 c_2 - b_2 c_1 = 2\cdot(-5) - 3\cdot8 = -10 - 24 = -34.
Portanto
\mathbf{b}\times\mathbf{c}=\langle -22,\,-76,\,-34\rangle.

Passo 4

Calcular o produto escalar \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}). Com \mathbf{a}=\langle 1,0,6\rangle e \mathbf{b}\times\mathbf{c}=\langle -22,-76,-34\rangle,
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = 1\cdot(-22) + 0\cdot(-76) + 6\cdot(-34).
Fazendo as operações:
1\cdot(-22) = -22,\qquad 6\cdot(-34) = -204,
logo
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = -22 + 0 -204 = -226.

Passo 5

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto escalar triplo calculado. Portanto o volume é \left|-226\right|.

Resposta

226

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