Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores dados. As informações fornecidas são:
A pergunta é: qual é o volume desse paralelepípedo?
Passo 2
Ideia e fórmula que vou usar (explicação didática):
- O volume do paralelepípedo determinado por três vetores
em é dado pelo valor absoluto do produto escalar triplo
- Intuição:
é um vetor perpendicular ao plano formado por e com magnitude igual à área do paralelogramo definido por e . Ao fazer obtemos (com sinal) o volume do paralelepípedo; por isso tomamos o valor absoluto para ter um volume positivo. - Fórmula prática para o produto vetorial
, com e , é
Vou primeiro calcular
e depois o produto escalar com
.
(Pequeno exemplo para fixar: se
fossem os vetores canônicos
, então
e
, então o volume é
.)
Passo 3
Calcular
. Com
e
, aplicando a fórmula componente a componente:
Portanto
Passo 4
Calcular o produto escalar
. Com
e
,
Fazendo as operações:
logo
Passo 5
O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto escalar triplo calculado. Portanto o volume é
.
Resposta
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