(a) Encontre um vetor ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q e R e (b) calcule a área do triângulo P Q R.
P(-4,-4,-4), \quad Q(0,5,-1), \quad R(3,1,2)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Encontrar um vetor ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q e R.
  • (b) Calcular a área do triângulo PQR.
Os pontos dados são:
P(-4,-4,-4),\qquad Q(0,5,-1),\qquad R(3,1,2).

Passo 2

Primeiro passo prático: formar vetores no plano a partir desses pontos. Um vetor que liga P a Q é \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{Q}-\overrightarrow{P} e o vetor que liga P a R é \overrightarrow{PR}=\overrightarrow{R}-\overrightarrow{P}.
Calculemos componente a componente:
\overrightarrow{PQ}=(0-(-4),\;5-(-4),\;-1-(-4))=(4,9,3),
\overrightarrow{PR}=(3-(-4),\;1-(-4),\;2-(-4))=(7,5,6).
Explicação rápida: subtrair coordenadas dá o vetor que aponta de P para o outro ponto; cada componente é a diferença das coordenadas correspondentes.

Passo 3

Um vetor ortogonal ao plano gerado por \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR} pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product) \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}. O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 produz um vetor perpendicular a ambos.
Usando a regra do determinante:
\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 4 & 9 & 3 \\\\ 7 & 5 & 6 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo por co-fatores:
\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}= \mathbf{i}(9\cdot6-3\cdot5)-\mathbf{j}(4\cdot6-3\cdot7)+\mathbf{k}(4\cdot5-9\cdot7).
Calcule cada termo:
9\cdot6-3\cdot5=54-15=39,
4\cdot6-3\cdot7=24-21=3,
4\cdot5-9\cdot7=20-63=-43.
Portanto
\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=(39,\,-3,\,-43).
Comentário amistoso: esse vetor é perpendicular ao plano; qualquer múltiplo escalar dele também serve como vetor normal.

Passo 4

Verificação (útil para confiar no cálculo): mostrar que o vetor encontrado é ortogonal a \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR} através do produto escalar.
Calcule:
(39,-3,-43)\cdot(4,9,3)=39\cdot4+(-3)\cdot9+(-43)\cdot3=156-27-129=0,
(39,-3,-43)\cdot(7,5,6)=39\cdot7+(-3)\cdot5+(-43)\cdot6=273-15-258=0.
Como os produtos escalares são zero, o vetor é realmente perpendicular a ambos os vetores do plano.

Passo 5

Agora a área do triângulo PQR. Ideia: o módulo do produto vetorial \|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\| é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR}. A área do triângulo é metade disso:
\text{Área}_{\triangle PQR}=\tfrac{1}{2}\,\|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\|.Á
Calcule o módulo do vetor normal:
\|\,(39,-3,-43)\,\|=\sqrt{39^{2}+(-3)^{2}+(-43)^{2}}=\sqrt{1521+9+1849}=\sqrt{3379}.
Portanto a área do triângulo é
\text{Área}_{\triangle PQR}=\tfrac{1}{2}\sqrt{3379}.Á
Se quiser um valor aproximado para intuir a ordem de grandeza, \sqrt{3379}\approx 58,13, então a área é aproximadamente 29,06 (apenas referência).

Resposta

(39,-3,-43)
\tfrac{1}{2}\sqrt{3379}

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