(a) Encontre um vetor ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q e R e (b) calcule a área do triângulo P Q R. P(-4,-4,-4), \quad Q(0,5,-1), \quad R(3,1,2)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Encontrar um vetor ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q e R.
(b) Calcular a área do triângulo PQR.
Os pontos dados são:
P(-4,-4,-4),\qquad Q(0,5,-1),\qquad R(3,1,2).
Passo 2
Primeiro passo prático: formar vetores no plano a partir desses pontos. Um vetor que liga P a Q é \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{Q}-\overrightarrow{P} e o vetor que liga P a R é \overrightarrow{PR}=\overrightarrow{R}-\overrightarrow{P}.
Explicação rápida: subtrair coordenadas dá o vetor que aponta de P para o outro ponto; cada componente é a diferença das coordenadas correspondentes.
Passo 3
Um vetor ortogonal ao plano gerado por \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR} pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product) \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}. O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 produz um vetor perpendicular a ambos.
Comentário amistoso: esse vetor é perpendicular ao plano; qualquer múltiplo escalar dele também serve como vetor normal.
Passo 4
Verificação (útil para confiar no cálculo): mostrar que o vetor encontrado é ortogonal a \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR} através do produto escalar.
Como os produtos escalares são zero, o vetor é realmente perpendicular a ambos os vetores do plano.
Passo 5
Agora a área do triângulo PQR. Ideia: o módulo do produto vetorial \|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\| é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR}. A área do triângulo é metade disso: