(a) Encontre um vetor ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q e R e (b) calcule a área do triângulo P Q R.
P(1,0,-1), \quad Q(2,4,5), \quad R(3,1,7)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Encontrar um vetor ortogonal ao plano que passa por P, Q, R.
  • (b) Calcular a área do triângulo PQR.
Os pontos fornecidos são:
P(1,0,-1),\qquad Q(2,4,5),\qquad R(3,1,7).

Passo 2

Primeiro vamos obter dois vetores do plano, bastando subtrair coordenadas dos pontos (vetores que ligam P a Q e P a R). Dados dois pontos A(x_A,y_A,z_A) e B(x_B,y_B,z_B), o vetor \overrightarrow{AB} é
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A).
Aplicando isso:
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2-1,\;4-0,\;5-(-1))=(1,4,6),
\overrightarrow{PR}=R-P=(3-1,\;1-0,\;7-(-1))=(2,1,8).

Passo 3

Um vetor ortogonal ao plano pode ser obtido como o produto vetorial (cross product) de \overrightarrow{PQ} por \overrightarrow{PR}. Propriedade importante: o produto vetorial de dois vetores não colineares é perpendicular a ambos.
A fórmula do produto vetorial para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).
Vamos aplicar com \mathbf{u}=\overrightarrow{PQ}=(1,4,6) e \mathbf{v}=\overrightarrow{PR}=(2,1,8).
Calcule cada componente:
\begin{aligned} (\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR})_1 &= 4\cdot8 - 6\cdot1 = 32-6 = 26,\\[4pt] (\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR})_2 &= 6\cdot2 - 1\cdot8 = 12-8 = 4,\\[4pt] (\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR})_3 &= 1\cdot1 - 4\cdot2 = 1-8 = -7. \end{aligned}
Portanto um vetor normal ao plano é
\mathbf{n}=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=(26,4,-7).]

Passo 4

Verificação rápida (bom hábito na prova): checar que \mathbf{n} é ortogonal aos dois vetores do plano, ou seja, que os produtos escalares são zero.
\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{PQ}=26\cdot1+4\cdot4+(-7)\cdot6=26+16-42=0,
\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{PR}=26\cdot2+4\cdot1+(-7)\cdot8=52+4-56=0.
Como ambos são zero, \mathbf{n} é realmente ortogonal ao plano. Observação: qualquer múltiplo escalar de \mathbf{n} também é vetor normal, então a resposta não é única na prática; escolhemos (26,4,-7) por ser o resultado direto.

Passo 5

Agora a área do triângulo PQR. Lembrete conceitual: o módulo do produto vetorial \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\| é a área do paralelogramo formado por \mathbf{u} e \mathbf{v}. O triângulo formado por esses vetores tem metade dessa área. Assim,
\text{Área}(PQR)=\tfrac{1}{2}\,\|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\|.Á
O módulo de um vetor (a,b,c) é \sqrt{a^2+b^2+c^2}. Aplicando a \mathbf{n}=(26,4,-7):
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{26^2+4^2+(-7)^2}=\sqrt{676+16+49}=\sqrt{741}.
Logo a área do triângulo é
\text{Área}(PQR)=\tfrac{1}{2}\sqrt{741}.Á

Passo 6

Se quiser uma aproximação numérica razoável feita à mão, nota-se que \sqrt{741}\approx27,221. Portanto
\text{Área}(PQR)\approx\tfrac{1}{2}\cdot27,221\approx13,6105.Á

Resposta

\text{(a) } \mathbf{n}=(26,4,-7)
\text{(b) } \text{Área}(PQR)=\dfrac{1}{2}\sqrt{741}\approx 13,6105Á

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