(a) Encontre um vetor ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q e R e (b) calcule a área do triângulo P Q R. P(1,0,-1), \quad Q(2,4,5), \quad R(3,1,7)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Encontrar um vetor ortogonal ao plano que passa por P, Q, R.
(b) Calcular a área do triângulo PQR.
Os pontos fornecidos são:
P(1,0,-1),\qquad Q(2,4,5),\qquad R(3,1,7).
Passo 2
Primeiro vamos obter dois vetores do plano, bastando subtrair coordenadas dos pontos (vetores que ligam P a Q e P a R). Dados dois pontos A(x_A,y_A,z_A) e B(x_B,y_B,z_B), o vetor \overrightarrow{AB} é
Um vetor ortogonal ao plano pode ser obtido como o produto vetorial (cross product) de \overrightarrow{PQ} por \overrightarrow{PR}. Propriedade importante: o produto vetorial de dois vetores não colineares é perpendicular a ambos.
A fórmula do produto vetorial para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
Como ambos são zero, \mathbf{n} é realmente ortogonal ao plano. Observação: qualquer múltiplo escalar de \mathbf{n} também é vetor normal, então a resposta não é única na prática; escolhemos (26,4,-7) por ser o resultado direto.
Passo 5
Agora a área do triângulo PQR. Lembrete conceitual: o módulo do produto vetorial \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\| é a área do paralelogramo formado por \mathbf{u} e \mathbf{v}. O triângulo formado por esses vetores tem metade dessa área. Assim,