Determine se os operadores a seguir são lineares ou não:
\hat{A}(f(x))=x^{2} f(x)

Passo 1

O enunciado dá o operador \hat{A} definido por
\hat{A}(f(x)) = x^{2} f(x),
e pede para determinar se esse operador é linear ou não.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A regra do operador está explícita: multiplica-se a função f(x) por x^{2}.
  • O enunciado não especifica o espaço exato de funções, então vamos assumir o espaço usual de funções reais (ou complexas) onde a multiplicação por x^{2} faz sentido (por exemplo, funções reais definidas em \mathbb{R} ou em um intervalo).
  • A pergunta é apenas se \hat{A} é linear (sim ou não).

Passo 2

Vamos lembrar a definição de operador linear (essa é a parte teórica que você precisa saber para a prova). Um operador \hat{A} é linear se, para quaisquer funções f e g do espaço e quaisquer escalares \alpha e \beta do campo (por exemplo, \mathbb{R} ou \mathbb{C}), valem as duas propriedades juntas, escritas como uma única condição:
\hat{A}(\alpha f + \beta g) = \alpha\,\hat{A}(f) + \beta\,\hat{A}(g).
Explicando essa fórmula: \alpha e \beta são números (escalares); f e g são funções; \alpha f + \beta g significa formar a combinação linear ponto a ponto; e \hat{A} é linear se aplicar \hat{A} à combinação linear der a mesma coisa que combinar linearmente os resultados de \hat{A}(f) e \hat{A}(g). Na prova é comum testar separadamente aditividade ( \hat{A}(f+g)=\hat{A}(f)+\hat{A}(g)) e homogeneidade ( \hat{A}(\alpha f)=\alpha\hat{A}(f)).

Passo 3

Testando aditividade. Tome duas funções quaisquer f e g. Calcule \hat{A}(f+g) usando a definição do operador:
\hat{A}(f+g) = x^{2}\bigl(f(x)+g(x)\bigr).
Agora desenvolvendo o parêntese (distribuição da multiplicação sobre a soma):
x^{2}\bigl(f(x)+g(x)\bigr) = x^{2}f(x) + x^{2}g(x).
Mas pelas definições, x^{2}f(x)=\hat{A}(f) e x^{2}g(x)=\hat{A}(g). Portanto
\hat{A}(f+g) = \hat{A}(f) + \hat{A}(g).
Isso prova a aditividade. Aqui usei a propriedade elementar da multiplicação de funções: multiplicar uma soma por x^{2} distribui.

Passo 4

Testando homogeneidade (multiplicação por escalar). Tome um escalar arbitrário \alpha e uma função f. Calcule \hat{A}(\alpha f):
\hat{A}(\alpha f) = x^{2}\bigl(\alpha f(x)\bigr).
Como \alpha é um número, podemos puxá-lo para fora da multiplicação com x^{2}:
x^{2}\bigl(\alpha f(x)\bigr) = \alpha \bigl(x^{2} f(x)\bigr).
E x^{2} f(x)=\hat{A}(f), logo
\hat{A}(\alpha f) = \alpha\,\hat{A}(f).
Isso prova a homogeneidade. A justificativa é a associatividade/commutatividade da multiplicação de escalares por valores de função.

Passo 5

Conclusão lógica: como \hat{A} satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade para quaisquer f,g e quaisquer escalares \alpha,\beta, temos
\hat{A}(\alpha f + \beta g)=\alpha\hat{A}(f)+\beta\hat{A}(g)
para todos os casos. Portanto \hat{A} é um operador linear no espaço de funções considerado.

Passo 6

Para deixar mais concreto (é bom para fixar na prova), um exemplo numérico simples: escolha f(x)=\sin x, g(x)=x, \alpha=2, \beta=-1. Calcule os dois lados:
\hat{A}(\alpha f + \beta g) = x^{2}\bigl(2\sin x - x\bigr) = 2x^{2}\sin x - x^{3},
\alpha\hat{A}(f) + \beta\hat{A}(g) = 2\bigl(x^{2}\sin x\bigr) - 1\cdot\bigl(x^{2}\cdot x\bigr) = 2x^{2}\sin x - x^{3}.
Os dois lados coincidem, ilustrando na prática a linearidade. Isso é só um exemplo; a prova anterior vale para todas as funções do espaço.

Resposta

Linear

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