Determine se os operadores a seguir são lineares ou não:
Passo 1
O enunciado dá o operador
definido por
e pede para determinar se esse operador é linear ou não.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A regra do operador está explícita: multiplica-se a função
por . - O enunciado não especifica o espaço exato de funções, então vamos assumir o espaço usual de funções reais (ou complexas) onde a multiplicação por
faz sentido (por exemplo, funções reais definidas em ou em um intervalo). - A pergunta é apenas se
é linear (sim ou não).
Passo 2
Vamos lembrar a definição de operador linear (essa é a parte teórica que você precisa saber para a prova). Um operador
é linear se, para quaisquer funções
e
do espaço e quaisquer escalares
e
do campo (por exemplo,
ou
), valem as duas propriedades juntas, escritas como uma única condição:
Explicando essa fórmula:
e
são números (escalares);
e
são funções;
significa formar a combinação linear ponto a ponto; e
é linear se aplicar
à combinação linear der a mesma coisa que combinar linearmente os resultados de
e
. Na prova é comum testar separadamente aditividade (
) e homogeneidade (
).
Passo 3
Testando aditividade. Tome duas funções quaisquer
e
. Calcule
usando a definição do operador:
Agora desenvolvendo o parêntese (distribuição da multiplicação sobre a soma):
Mas pelas definições,
e
. Portanto
Isso prova a aditividade. Aqui usei a propriedade elementar da multiplicação de funções: multiplicar uma soma por
distribui.
Passo 4
Testando homogeneidade (multiplicação por escalar). Tome um escalar arbitrário
e uma função
. Calcule
:
Como
é um número, podemos puxá-lo para fora da multiplicação com
:
E
, logo
Isso prova a homogeneidade. A justificativa é a associatividade/commutatividade da multiplicação de escalares por valores de função.
Passo 5
Conclusão lógica: como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade para quaisquer
e quaisquer escalares
, temos
para todos os casos. Portanto
é um operador linear no espaço de funções considerado.
Passo 6
Para deixar mais concreto (é bom para fixar na prova), um exemplo numérico simples: escolha
,
,
,
. Calcule os dois lados:
Os dois lados coincidem, ilustrando na prática a linearidade. Isso é só um exemplo; a prova anterior vale para todas as funções do espaço.
Resposta
Linear