Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u=(2,-2,0), v=(0,1,0) e w=(-2,-1,-1). Calcule o volume do tetraedro A B C D determinado pelos vetores A B=(1,1,0), A C=(0,1,1) e A D=(-4,0,0).

Passo 1

O exercício tem duas partes: (i) calcular o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores vec u=(2,-2,0), vec v=(0,1,0) e vec w=(-2,-1,-1); (ii) calcular o volume do tetraedro ABCD cujas arestas a partir de A são AB=(1,1,0), AC=(0,1,1) e AD=(-4,0,0).
O conteúdo é produto misto de vetores, com as fórmulas
Vpar=l|vec ucdot(vec vtimesvec w)r|
para o paralelepípedo, e
Vtet=16l|ABcdot(ACtimesAD)r|
para o tetraedro.

Passo 2

Calcular o produto vetorial vec vtimesvec w. Com vec v=(0,1,0) e vec w=(-2,-1,-1) temos
vec vtimesvec w = i&j&k 0&1&0 -2&-1&-1 =(-1),i+0,j+2,k =(-1,0,2)

Passo 3

Calcular o produto misto vec ucdot(vec vtimesvec w). Com vec u=(2,-2,0) e vec vtimesvec w=(-1,0,2) obtemos
vec ucdot(vec vtimesvec w) =2cdot(-1)+(-2)cdot0+0cdot2=-2
Logo
Vpar=l|-2r|=2

Passo 4

Calcular o produto vetorial ACtimesAD. Com AC=(0,1,1) e AD=(-4,0,0):
ACtimesAD = i&j&k 0&1&1 -4&0&0 =(0,-4,4)
Em seguida
ABcdot(ACtimesAD) =(1,1,0)cdot(0,-4,4) =1cdot0+1cdot(-4)+0cdot4=-4
Portanto
Vtet=16,|-4|=46=23

Resposta

Volume do paralelepípedo: 2.
Volume do tetraedro: 23.

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