Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores vecu, v e vecw nos seguintes casos:
u=(2,1,4)E, v=(2,-1,3)E e w=(5,4,1)E;

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores vec u=(2,1,4), vec v=(2,-1,3) e vec w=(5,4,1). Em geometria vetorial, esse volume é dado pelo valor absoluto do produto misto (ou produto escalar triplo)
V = l|vec ucdot(vec vtimesvec w)r|
Para resolver, vamos calcular primeiro o produto vetorial vec vtimesvec w e depois o produto escalar com vec u.

Passo 2

Calculemos vec vtimesvec w pela definição de determinante:
vec v times vec w = i & j & k 2 & -1 & 3 5 & 4 & 1 = (-1cdot1 - 3cdot4), i - (2cdot1 - 3cdot5), j + (2cdot4 - (-1)cdot5), k = -13, i +13, j +13, k

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de vec u com esse resultado:
vec ucdot(vec vtimesvec w) = (2,1,4)cdot(-13,13,13) =2cdot(-13)+1cdot13+4cdot13 =-26+13+52 =39

Passo 4

O volume é o valor absoluto desse produto misto:
V = l|39r| = 39

Resposta

39

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