O enunciado pede: calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(2,-1,0) e \vec{w}=(3,1,4).
Informações dadas:
Os três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} no espaço tridimensional estão explicitamente fornecidos.
A pergunta é única: encontrar o volume do paralelepípedo formado por esses vetores.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): o volume do paralelepípedo formado por três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto misto (produto escalar de um com o produto vetorial dos outros):
V = \left|\vec{u}\cdot\bigl(\vec{v}\times\vec{w}\bigr)\right|.
O que isso significa, em palavras simples:
\vec{v}\times\vec{w} é um vetor perpendicular ao plano gerado por \vec{v} e \vec{w}; seu comprimento é igual à área do paralelogramo formado por \vec{v} e \vec{w}.
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) projeta \vec{u} sobre a direção de \vec{v}\times\vec{w} e multiplica pela área daquele paralelogramo, dando o volume orientado (pode ser negativo dependendo da ordem).
Tomando o valor absoluto, obtemos o volume positivo do paralelepípedo.
Outra forma prática de calcular o mesmo número é usar o determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são os componentes dos vetores:
Interpretação do resultado e verificação rápida (opcional, útil para entender): o produto misto ficou -5. O sinal negativo indica apenas orientação (ordem dos vetores); o volume geométrico é o valor absoluto. Portanto:
V = \left| -5 \right| = 5.
Se quiser ver como seria pelo caminho \vec{v}\times\vec{w} e depois \vec{u}\cdot(\cdot), segue a verificação curta: