Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
\vec{u}=(1,2,3), \quad \vec{v}=(2,-1,0), \quad \vec{w}=(3,1,4) .

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
\vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(2,-1,0) e \vec{w}=(3,1,4).
Informações dadas:
  • Os três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} no espaço tridimensional estão explicitamente fornecidos.
  • A pergunta é única: encontrar o volume do paralelepípedo formado por esses vetores.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): o volume do paralelepípedo formado por três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} em \mathbb{R}^3 é o valor absoluto do produto misto (produto escalar de um com o produto vetorial dos outros):
V = \left|\vec{u}\cdot\bigl(\vec{v}\times\vec{w}\bigr)\right|.
O que isso significa, em palavras simples:
  • \vec{v}\times\vec{w} é um vetor perpendicular ao plano gerado por \vec{v} e \vec{w}; seu comprimento é igual à área do paralelogramo formado por \vec{v} e \vec{w}.
  • \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) projeta \vec{u} sobre a direção de \vec{v}\times\vec{w} e multiplica pela área daquele paralelogramo, dando o volume orientado (pode ser negativo dependendo da ordem).
  • Tomando o valor absoluto, obtemos o volume positivo do paralelepípedo.
Outra forma prática de calcular o mesmo número é usar o determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são os componentes dos vetores:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & -1 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 4 \end{vmatrix}.
Vou calcular esse determinante explicitamente (método direto, que é o mais simples para fazer à mão na prova).]

Passo 3

Cálculo do determinante pela expansão pela primeira linha (mostrando cada menor):
\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & -1 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 1\cdot \begin{vmatrix} -1 & 0\\[4pt] 1 & 4 \end{vmatrix} - 2\cdot \begin{vmatrix} 2 & 0\\[4pt] 3 & 4 \end{vmatrix} + 3\cdot \begin{vmatrix} 2 & -1\\[4pt] 3 & 1 \end{vmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times2:
\begin{vmatrix} -1 & 0\\[4pt] 1 & 4 \end{vmatrix} = (-1)\cdot 4 - 0\cdot 1 = -4,
\begin{vmatrix} 2 & 0\\[4pt] 3 & 4 \end{vmatrix} = 2\cdot 4 - 0\cdot 3 = 8,
\begin{vmatrix} 2 & -1\\[4pt] 3 & 1 \end{vmatrix} = 2\cdot 1 - (-1)\cdot 3 = 2 + 3 = 5.
Substituindo esses resultados na expressão do determinante:
\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & -1 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 1\cdot(-4) - 2\cdot 8 + 3\cdot 5 = -4 -16 +15 = -5.]

Passo 4

Interpretação do resultado e verificação rápida (opcional, útil para entender): o produto misto ficou -5. O sinal negativo indica apenas orientação (ordem dos vetores); o volume geométrico é o valor absoluto. Portanto:
V = \left| -5 \right| = 5.
Se quiser ver como seria pelo caminho \vec{v}\times\vec{w} e depois \vec{u}\cdot(\cdot), segue a verificação curta:
  • Calcular \vec{v}\times\vec{w}:
\vec{v}\times\vec{w} = (\,(-1)\cdot 4 - 0\cdot 1,\;0\cdot 3 - 2\cdot 4,\;2\cdot 1 - (-1)\cdot 3\,) = (-4,-8,5).
  • Fazer \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}):
\vec{u}\cdot(-4,-8,5) = 1\cdot(-4) + 2\cdot(-8) + 3\cdot 5 = -4 -16 +15 = -5,
o que confirma o determinante e, portanto, o volume 5.

Resposta

5

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