Determine o ângulo entre a reta
e o plano
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma bem clara):
- Reta
em forma paramétrica vetorial: . Disto eu extraio o vetor diretor da reta: . - Plano
por equação cartesiana: . Disto eu extraio o vetor normal ao plano: .
O que o problema pede: determinar o ângulo entre a retae o plano . Quero um ângulo no intervalo (o ângulo agudo entre reta e plano).
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática):
- Se
é o ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano, então a fórmula do cosseno entre dois vetores vale:
onde
é o produto escalar e
é a norma (comprimento) do vetor. Uso valor absoluto porque queremos o ângulo agudo entre os vetores.
- O ângulo
entre a reta e o plano é o complementar de , isto é . Portanto pode-se usar a relação
Essa fórmula é prática: calcula-se a razão e aplica-se
. Explicando em palavras: o componente de
na direção do normal mede quanto a reta “sai” do plano; esse componente relativo ao comprimento total dá o seno do ângulo entre reta e plano.
Passo 3
Calcular o produto escalar
.
- Temos
e . - O produto escalar é
Agora faço as contas passo a passo:
Somando:
Passo 4
Calcular as normas
e
.
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Aplicar a fórmula e obter o ângulo.
- Pela fórmula do Passo 2:
Substituindo os valores que já calculei:
- Portanto o ângulo entre a reta e o plano é
Se quiser uma aproximação em graus, calculando numericamente: