Determine o ângulo entre a reta
r: \vec{r}=(1,1,1)+t(1,2,2)
e o plano
\pi: 3 x-y+z-7=0 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma bem clara):
  • Reta r em forma paramétrica vetorial: \vec{r}=(1,1,1)+t(1,2,2). Disto eu extraio o vetor diretor da reta: \vec{v}=(1,2,2).
  • Plano \pi por equação cartesiana: 3x-y+z-7=0. Disto eu extraio o vetor normal ao plano: \vec{n}=(3,-1,1).
    O que o problema pede: determinar o ângulo entre a reta r e o plano \pi. Quero um ângulo no intervalo [0^\circ,90^\circ] (o ângulo agudo entre reta e plano).

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática):
  • Se \varphi é o ângulo entre o vetor diretor \vec{v} da reta e o vetor normal \vec{n} do plano, então a fórmula do cosseno entre dois vetores vale:
\cos\varphi=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{v}\|\;\|\vec{n}\|},
onde \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar e \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor. Uso valor absoluto porque queremos o ângulo agudo entre os vetores.
  • O ângulo \theta entre a reta e o plano é o complementar de \varphi, isto é \theta=90^\circ-\varphi. Portanto pode-se usar a relação
\sin\theta=\cos\varphi=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{v}\|\;\|\vec{n}\|}.
Essa fórmula é prática: calcula-se a razão e aplica-se \theta=\arcsin(\cdot). Explicando em palavras: o componente de \vec{v} na direção do normal mede quanto a reta “sai” do plano; esse componente relativo ao comprimento total dá o seno do ângulo entre reta e plano.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{n}.
  • Temos \vec{v}=(1,2,2) e \vec{n}=(3,-1,1).
  • O produto escalar é
\vec{v}\cdot\vec{n}=1\cdot3+2\cdot(-1)+2\cdot1.
Agora faço as contas passo a passo:
1\cdot3=3,\qquad 2\cdot(-1)=-2,\qquad 2\cdot1=2.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n}=3-2+2=3.

Passo 4

Calcular as normas \|\vec{v}\| e \|\vec{n}\|.
  • Para \vec{v}=(1,2,2):
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
  • Para \vec{n}=(3,-1,1):
\|\vec{n}\|=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}.

Passo 5

Aplicar a fórmula e obter o ângulo.
  • Pela fórmula do Passo 2:
\sin\theta=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{v}\|\;\|\vec{n}\|}.
Substituindo os valores que já calculei:
\sin\theta=\frac{|3|}{3\cdot\sqrt{11}}=\frac{3}{3\sqrt{11}}=\frac{1}{\sqrt{11}}.
  • Portanto o ângulo entre a reta e o plano é
\theta=\arcsin\!\left(\frac{1}{\sqrt{11}}\right).
Se quiser uma aproximação em graus, calculando numericamente:
\theta\approx 17{,}6^\circ.

Resposta

\theta=\arcsin\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{11}}\right)\approx17{,}6^\circ

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