Determine a distância entre o ponto P(4,-2,1) e a reta interseçio dos planos
\pi_{1}: x+y+z-1=0, \quad \pi_{2}: 2 x-y+3 z-5=0 .

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto P(4,-2,1) e dois planos
\pi_{1}: x+y+z-1=0,\qquad \pi_{2}: 2x-y+3z-5=0.
O que a questão pede é: determinar a distância entre o ponto P e a reta que é a interseção dos planos \pi_{1} e \pi_{2}. Vou listar as informações relevantes que usarei depois:
  • Coordenadas do ponto: P=(4,-2,1).
  • Equações dos planos: \pi_{1} e \pi_{2} acima.
  • A reta procurada é \pi_{1}\cap\pi_{2} (a interseção dos dois planos).

Passo 2

Primeiro preciso de um vetor diretor da reta \pi_{1}\cap\pi_{2}. Para cada plano tomo seu vetor normal:
\mathbf{n}_{1}=(1,1,1)\quad\text{(do plano \(\pi_{1}\))},\qquad \mathbf{n}_{2}=(2,-1,3)\quad\text{(do plano \(\pi_{2}\))}.
Uma propriedade importante (sem provar tecnicamente aqui) é que o vetor diretor da interseção de dois planos é perpendicular a ambos os vetores normais; portanto pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product)
\mathbf{v}=\mathbf{n}_{1}\times\mathbf{n}_{2}.
Vou calcular esse produto vetorial usando a regra do determinante:
\mathbf{v}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo componente a componente:
\mathbf{v}=\bigl(1\cdot3-1\cdot(-1),\; -\bigl(1\cdot3-1\cdot2\bigr),\;1\cdot(-1)-1\cdot2\bigr).
Calculando cada termo:
\mathbf{v}=(3+1,\;-(3-2),\;-1-2)=(4,-1,-3).
Esse \mathbf{v}=(4,-1,-3) é um vetor diretor da reta interseção. O comprimento (norma) de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{4^{2}+(-1)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+1+9}=\sqrt{26}.

Passo 3

Agora preciso de um ponto qualquer Q\) que pertença à reta \(\pi_{1}\cap\pi_{2}\). Para encontrar \(Q\) resolvo o sistema formado pelas equações dos planos. Uma maneira prática é dar um valor conveniente a uma coordenada; escolho \(z=0\) por simplicidade (qualquer outro valor daria também um ponto válido). Substituindo \(z=0\) nas equações: \[\begin{cases} x+y+0-1=0 \\\\\\ 2x-y+0-5=0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x+y=1 \\\\\\ 2x-y=5. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar y\]: \[(x+y)+(2x-y)=1+5 \quad\Rightarrow\quad 3x=6 \quad\Rightarrow\quad x=2.\] Com \(x=2 obtemos y=1-x=1-2=-1. Assim um ponto da reta é
Q=(2,-1,0).

Passo 4

Calculo agora o vetor que vai de Q até P; esse vetor chamo de \mathbf{w}:
\mathbf{w}=\overrightarrow{QP}=P-Q=(4-2,\;-2-(-1),\;1-0)=(2,-1,1).

Passo 5

Fórmula que vou usar para a distância do ponto à reta: se \mathbf{v} é um vetor diretor da reta e \mathbf{w} é o vetor de um ponto da reta até o ponto externo, então a distância d do ponto à reta é dada por
d=\frac{\|\mathbf{v}\times\mathbf{w}\|}{\|\mathbf{v}\|}.
Intuição curta: \|\mathbf{v}\times\mathbf{w}\| é a área do paralelogramo construído sobre \mathbf{v} e \mathbf{w}; essa área também vale \|\mathbf{v}\|\times(\text{altura}), onde a altura é exatamente a distância perpendicular da ponta de \mathbf{w} à reta gerada por \mathbf{v}. Portanto dividindo pela base \|\mathbf{v}\| obtém-se a altura = distância.

Passo 6

Vou calcular o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{w} com \mathbf{v}=(4,-1,-3) e \mathbf{w}=(2,-1,1):
\mathbf{v}\times\mathbf{w}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 4 & -1 & -3 \\\\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo:
\mathbf{v}\times\mathbf{w}=\bigl((-1)\cdot1-(-3)\cdot(-1),\; -\bigl(4\cdot1-(-3)\cdot2\bigr),\;4\cdot(-1)-(-1)\cdot2\bigr).
Calculando cada componente:
\mathbf{v}\times\mathbf{w}=(-1-3,\;- (4-(-6)),\;-4+2)=(-4,-10,-2).
A norma desse vetor é
\|\mathbf{v}\times\mathbf{w}\|=\sqrt{(-4)^{2}+(-10)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+100+4}=\sqrt{120}.
Já calculamos \|\mathbf{v}\|=\sqrt{26}. Portanto a distância é
d=\frac{\sqrt{120}}{\sqrt{26}}=\sqrt{\frac{120}{26}}=\sqrt{\frac{60}{13}}.
Podemos também escrever a forma equivalente d=\dfrac{2\sqrt{15}}{\sqrt{13}} ou racionalizada d=\dfrac{2\sqrt{195}}{13}.

Resposta

\displaystyle \sqrt{\dfrac{60}{13}}

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