O enunciado nos dá o ponto P(4,-2,1) e dois planos
\pi_{1}: x+y+z-1=0,\qquad \pi_{2}: 2x-y+3z-5=0.
O que a questão pede é: determinar a distância entre o ponto P e a reta que é a interseção dos planos \pi_{1} e \pi_{2}. Vou listar as informações relevantes que usarei depois:
Coordenadas do ponto: P=(4,-2,1).
Equações dos planos: \pi_{1} e \pi_{2} acima.
A reta procurada é \pi_{1}\cap\pi_{2} (a interseção dos dois planos).
Passo 2
Primeiro preciso de um vetor diretor da reta \pi_{1}\cap\pi_{2}. Para cada plano tomo seu vetor normal:
\mathbf{n}_{1}=(1,1,1)\quad\text{(do plano \(\pi_{1}\))},\qquad \mathbf{n}_{2}=(2,-1,3)\quad\text{(do plano \(\pi_{2}\))}.
Uma propriedade importante (sem provar tecnicamente aqui) é que o vetor diretor da interseção de dois planos é perpendicular a ambos os vetores normais; portanto pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product)
\mathbf{v}=\mathbf{n}_{1}\times\mathbf{n}_{2}.
Vou calcular esse produto vetorial usando a regra do determinante:
Agora preciso de um ponto qualquer Q\) que pertença à reta \(\pi_{1}\cap\pi_{2}\). Para encontrar \(Q\) resolvo o sistema formado pelas equações dos planos. Uma maneira prática é dar um valor conveniente a uma coordenada; escolho \(z=0\) por simplicidade (qualquer outro valor daria também um ponto válido). Substituindo \(z=0\) nas equações:
\[\begin{cases} x+y+0-1=0 \\\\\\ 2x-y+0-5=0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x+y=1 \\\\\\ 2x-y=5. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar y\]:
\[(x+y)+(2x-y)=1+5 \quad\Rightarrow\quad 3x=6 \quad\Rightarrow\quad x=2.\]
Com \(x=2 obtemos y=1-x=1-2=-1. Assim um ponto da reta é
Q=(2,-1,0).
Passo 4
Calculo agora o vetor que vai de Q até P; esse vetor chamo de \mathbf{w}:
Fórmula que vou usar para a distância do ponto à reta: se \mathbf{v} é um vetor diretor da reta e \mathbf{w} é o vetor de um ponto da reta até o ponto externo, então a distância d do ponto à reta é dada por
Intuição curta: \|\mathbf{v}\times\mathbf{w}\| é a área do paralelogramo construído sobre \mathbf{v} e \mathbf{w}; essa área também vale \|\mathbf{v}\|\times(\text{altura}), onde a altura é exatamente a distância perpendicular da ponta de \mathbf{w} à reta gerada por \mathbf{v}. Portanto dividindo pela base \|\mathbf{v}\| obtém-se a altura = distância.
Passo 6
Vou calcular o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{w} com \mathbf{v}=(4,-1,-3) e \mathbf{w}=(2,-1,1):