Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores vecu, v e vecw nos seguintes casos:
u=(1,3,1)E, v=(2,0,4)E e w=(-2,4,3)E.

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u=(1,3,1), v=(2,0,4) e w=(-2,4,3) na base canônica. O conteúdo aqui é produto escalar misto (ou produto misto), que nos diz que o volume é o valor absoluto do determinante cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas desses vetores.

Passo 2

Pelo produto misto, podemos escrever o volume V como
V = l|det 1 & 2 & -2 3 & 0 & 4 1 & 4 & 3 r|

Passo 3

Para calcular o determinante, expandimos pela primeira linha:
det = 1cdotdet0 & 44 & 3 -2cdotdet3 & 41 & 3 +(-2)cdotdet3 & 01 & 4
Agora cada subdeterminante:
det0 & 44 & 3=0cdot3-4cdot4=-16,
det3 & 41 & 3=3cdot3-4cdot1=9-4=5,
det3 & 01 & 4=3cdot4-0cdot1=12
Substituindo,
det = 1cdot(-16) -2cdot5 +(-2)cdot12 = -16 -10 -24 = -50

Passo 4

O volume é o valor absoluto desse determinante:
V = |-50| = 50

Resposta

O volume do paralelepípedo é 50.

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