Questão 11. Sejam A=[rr1 & 2 4 & -3], f(x)=2 x^3-4 x+5 e g(x)=x^2+2 x+11. Determine:
a) A^2
b) A^3
c) f(A)
d) g(A)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 4 & -3
e os polinômios
f(x)=2x^3-4x+5, g(x)=x^2+2x+11
Precisamos calcular as potências A^2 e A^3 via multiplicação de matrizes e, em seguida, avaliar f(A) e g(A) usando a definição de polinômio em matriz, isto é, substituir x por A e somar matrizes.

Passo 2

Para achar A^2 multiplicamos A por A. Os elementos são
(A^2)11=1cdot1+2cdot4=9, (A^2)12=1cdot2+2cdot(-3)=-4,
(A^2)21=4cdot1+(-3)cdot4=-8, (A^2)22=4cdot2+(-3)cdot(-3)=17
A^2 = 9 & -4 -8 & 17

Passo 3

Para obter A^3 calculamos A^2cdot A. Os cálculos dão
(A^3)11=9cdot1+(-4)cdot4=-7, (A^3)12=9cdot2+(-4)cdot(-3)=30,
(A^3)21=-8cdot1+17cdot4=60, (A^3)22=-8cdot2+17cdot(-3)=-67
A^3 = -7 & 30 60 & -67

Passo 4

Para calcular f(A) usamos a forma
f(A) = 2A^3 - 4A + 5I,
onde I é a identidade 2times2. Primeiro, cada termo:
2A^3 = -14 & 60 120 & -134, -4A = -4 & -8 -16 & 12, 5I = 5 & 0 0 & 5
Somando componente a componente,
f(A) = -14-4+5 & 60-8+0 120-16+0 & -134+12+5 = -13 & 52 104 & -117

Passo 5

Para g(A) usamos
g(A) = A^2 + 2A + 11I
Já temos A^2. Calculamos
2A = 2 & 4 8 & -6, 11I = 11 & 0 0 & 11,
de modo que
g(A) = 9+2+11 & -4+4+0 -8+8+0 & 17-6+11 = 22 & 0 0 & 22

Resposta

a) 9 & -4 -8 & 17
b) -7 & 30 60 & -67
c) -13 & 52 104 & -117
d) 22 & 0 0 & 22

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