Calcule o volume de uma pirâmide triangular regular, sendo 20 cm a medida de sua aresta lateral e 36 cm o perímetro do triângulo da base.

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma pirâmide com base triangular regular (um triângulo equilátero) cuja aresta lateral vale 20,cm e cujo perímetro da base é 36,cm. Para resolver, vamos (i) encontrar o lado da base, (ii) calcular a área da base, (iii) determinar a altura da pirâmide usando Pitágoras num triângulo formado pela aresta lateral e o raio circunscrito da base, e (iv) aplicar a fórmula
V = \tfrac{1}{3} \, (\text{área da base}) \times (\text{altura}).á

Passo 2

O lado a do triângulo equilátero da base satisfaz
3a = 36 \quad\Longrightarrow\quad a = 12\text{ cm}.

Passo 3

A área da base é
A_{\text{base}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\,(12)^2 = 36\sqrt{3}\,\text{cm}^2.

Passo 4

O centro da base é o mesmo ponto de projeção do vértice, e o raio circunscrito do triângulo equilátero vale
R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\,\text{cm}.
No triângulo retângulo formado pela aresta lateral 20,cm, pela altura h da pirâmide e por R, aplicamos Pitágoras:
h = \sqrt{20^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{400 - 48} = \sqrt{352} = 4\sqrt{22}\,\text{cm}.

Passo 5

Finalmente, o volume é
V = \frac{1}{3}\,A_{\text{base}}\;h = \frac{1}{3}\times 36\sqrt{3}\times 4\sqrt{22} = 48\sqrt{66}\,\text{cm}^3.

Resposta

48\sqrt{66}\,\text{cm}^3

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