QUESTÃO 2: (Valor: 3,0 pts) Determine a equação, esboce e identifique a superfície de revolução gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado apresenta a curva
e pide a superfície obtida ao girar
em torno do eixo
. O conteúdo é “superfície de revolução” e vamos precisar usar a noção de raio no plano
para expressar a rotação.
Passo 2
Ao girar em torno do eixo
, a coordenada
descreve, junto com
, um círculo de raio
Então, em vez de
, devemos usar
na equação original.
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos a equação da superfície de revolução:
Passo 4
Para ver a forma padrão, escrevemos
Note que isso só faz sentido quando
, ou seja
.
Passo 5
As seções transversais em planos
são círculos de raio
para
. No esboço, marca-se no eixo
os pontos
e, para cada
, desenha-se o círculo de raio
.
Passo 6
Comparando com as superfícies-quadráticas conhecidas,
é um hiperbolóide de duas folhas com eixo no e folhas separadas pelos planos
e
.
é um hiperbolóide de duas folhas com eixo no
Resposta
Equação da superfície:
Superfície de revolução: hiperbolóide de duas folhas com eixo principal no eixo
.