QUESTÃO 2: (Valor: 3,0 pts) Determine a equação, esboce e identifique a superfície de revolução gerada pela rotação da curva C:\left\{\begin{array}{c}x^{2}-4 y^{2}-4=0 \\\ z=0\end{array}\right. em torno do eixo O x.

Passo 1

O enunciado apresenta a curva
C:\begin{cases} x^{2}-4y^{2}-4=0,\\\ z=0, \end{cases}
e pide a superfície obtida ao girar C em torno do eixo Ox. O conteúdo é “superfície de revolução” e vamos precisar usar a noção de raio no plano yz para expressar a rotação.

Passo 2

Ao girar em torno do eixo Ox, a coordenada y descreve, junto com z, um círculo de raio
\rho = \sqrt{y^{2}+z^{2}}.
Então, em vez de y^{2}, devemos usar \rho^{2} = y^{2}+z^{2} na equação original.

Passo 3

Substituindo y^{2} = \rho^{2} em x^{2}-4y^{2}-4=0, obtemos a equação da superfície de revolução:
x^{2} - 4\,\rho^{2} - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} - 4\,(y^{2}+z^{2}) - 4 = 0.

Passo 4

Para ver a forma padrão, escrevemos
x^{2} - 4(y^{2}+z^{2}) = 4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{4} - \bigl(y^{2}+z^{2}\bigr) = 1.
Note que isso só faz sentido quando \frac{x^{2}}{4}\ge1, ou seja \lvert x\rvert\ge2.

Passo 5

As seções transversais em planos x=x_{0} são círculos de raio
r(x_{0}) = \sqrt{\frac{x_{0}^{2}}{4} - 1},
para \lvert x_{0}\rvert\ge2. No esboço, marca-se no eixo Ox os pontos x=\pm2 e, para cada x_{0}, desenha-se o círculo de raio r(x_{0}).

Passo 6

Comparando com as superfícies-quadráticas conhecidas,
\displaystyle \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} - \frac{z^{2}}{1} = 1
é um hiperbolóide de duas folhas com eixo no Ox e folhas separadas pelos planos x=2 e x=-2.

Resposta

Equação da superfície:
x^{2} - 4(y^{2}+z^{2}) - 4 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{4} - (y^{2}+z^{2}) = 1.
Superfície de revolução: hiperbolóide de duas folhas com eixo principal no eixo Ox.

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