QUESTÃO 1: (Valor: 3,0 pts) Determine a equação, esboce e identifique a superfície cilíndrica de diretriz \mathbf{C}:\left\{\begin{array}{c}x^{2}=4 z \\\ y=0\end{array}\right. e geratriz \mathbf{r}:\left\{\begin{array}{c}x=0 \\\ y=2+t \\\ z=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede a superfície cilíndrica determinada pela diretriz \mathbf{C}, que é a parábola no plano y=0 dada por
x^{2}=4z,
e pela geratriz \mathbf{r}, que é a reta paralela ao eixo y definida por
x=0,\quad z=0,\quad y=2+t.
Vamos usar o conceito de cilindro: a superfície é formada por copiar a diretriz ao longo de todas as retas paralelas à geratriz. Para isso, vamos parametrizar a diretriz e somar a direção da geratriz, depois eliminar parâmetros.
Passo 2
Parametrizamos a diretriz \mathbf{C} por um parâmetro u. Como x^{2}=4z, podemos tomar
x=2u,\quad z=u^{2},\quad y=0.
A geratriz \mathbf{r} tem vetor diretor \mathbf{v}=(0,1,0), pois varia só em y.
Para achar a equação em x,y,z, eliminamos u e t. Da componente x=2u vem
u=\frac{x}{2},
e da componente z=u^{2} segue
z=\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2}=\frac{x^{2}}{4}.
O parâmetro t é exatamente y, que fica livre. Assim a equação implícita da superfície é
x^{2}-4z=0.
Passo 5
Para esboçar, note que no plano y=0 temos a parábola x^2=4z voltada para cima em z. Como a superfície é obtida estendendo essa parábola em todas as direções paralelas ao eixo y, o gráfico é um cilindro cujo “perfil” é a parábola, e cujas geratrizes são linhas verticais paralelas ao eixo y.
Resposta
Equação implícita:
x^{2}-4z=0.
Esboço: parabolic cylinder com perfil x^2=4z no plano y=0 e geratrizes paralelas ao eixo y.
Identificação: cilindro parabólico de geratrizes paralelas ao eixo y.