Calcule o volume da região limitada pelas superfícies y=2 x, y=2 x^{2}, x+y+z=3, x+y+z=4.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Superfícies fornecidas:
    • y=2x
    • y=2x^{2}
    • x+y+z=3
    • x+y+z=4
  • O enunciado pede: calcular o volume da região limitada por essas quatro superfícies.
  • Observações extraídas do enunciado (dados relevantes):
    • As duas últimas equações são planos paralelos: x+y+z=3 e x+y+z=4.
    • As duas primeiras são curvas no plano xy: y=2x (reta) e y=2x^{2} (parábola).
    • A região sólida está entre os dois planos e lateralmente limitada pela região do plano xy onde as curvas se interceptam.

Passo 2

Escolhendo uma fórmula prática e por quê (explicação didática do método que vamos usar).
  • Para calcular volumes entre duas superfícies z = f_{1}(x,y) e z = f_{2}(x,y) sobre uma região D no plano xy, use-se a fórmula
V=\iint_{D}\bigl(f_{2}(x,y)-f_{1}(x,y)\bigr)\,dA.
Explicação simples: para cada ponto (x,y)\in D a “espessura” vertical do sólido é f_{2}(x,y)-f_{1}(x,y); somando isso (integrando) sobre toda a base D obtém-se o volume.
  • No nosso caso os dois planos podem ser escritos como funções z:
    • do plano x+y+z=3 tem-se z=3-x-y;
    • do plano x+y+z=4 tem-se z=4-x-y.
  • A diferença entre as alturas é
(4-x-y)-(3-x-y)=1,
ou seja, a espessura vertical é constante e igual a 1 em todo ponto da base D. Então o volume será simplesmente a área da região D no plano xy multiplicada por 1:
V=\iint_{D}1\,dA=\text{área}(D).á

Passo 3

Determinar a região D no plano xy (projeção das curvas) — encontrar interseção e limites.
  • As curvas que limitam D no plano xy são y=2x e y=2x^{2}. Para achar onde elas se encontram, resolver:
2x=2x^{2}\quad\Rightarrow\quad 2x^{2}-2x=0\quad\Rightarrow\quad 2x(x-1)=0.
  • Portanto as interseções ocorrem em x=0 e x=1. Substituindo em y=2x obtemos y=0 e y=2, respectivamente. Assim os pontos de interseção são (0,0) e (1,2).
  • Para saber qual curva fica acima (maior y) entre x=0 e x=1, comparar os valores:
    • para x\in[0,1] vale x^{2}\le x, logo 2x^{2}\le 2x.
    • Portanto, na faixa 0\le x\le 1 a parábola y=2x^{2} está abaixo e a reta y=2x está acima.
  • Conclusão: a região D é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; 2x^{2}\le y\le 2x\}.

Passo 4

Montar a integral dupla para a área de D e simplificar usando a espessura constante.
  • Como visto, o volume é a área de D:
V=\iint_{D}1\,dA.
  • Usando integração iterada com as coordenadas determinadas:
V=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=2x^{2}}^{2x} 1\,dy\right)dx.

Passo 5

Calcular a integral interna e depois a externa — integração passo a passo (método e regras de antiderivadas).
  • Integral interna (em y):
\int_{y=2x^{2}}^{2x} 1\,dy = \bigl[y\bigr]_{y=2x^{2}}^{y=2x} = 2x-2x^{2}.
Comentário didático: integrar 1 em relação a y y; depois avalia em cima e em baixo.
  • Agora integrar em x:
V=\int_{0}^{1} (2x-2x^{2})\,dx.
Usar a regra de potências: \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.

Passo 6

Executar integral em x detalhadamente e avaliar os limites.
  • Separe os termos:
\int_{0}^{1} (2x-2x^{2})\,dx = 2\int_{0}^{1} x\,dx - 2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
  • Calcule cada integral usando a antiderivada:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},\qquad \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
  • Então
2\int_{0}^{1} x\,dx = 2\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 2\left(\frac{1^{2}}{2}-0\right)=2\cdot\frac{1}{2}=1,
2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = 2\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 2\left(\frac{1^{3}}{3}-0\right)=\frac{2}{3}.
  • Subtraindo:
V = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.

Passo 7

Interpretação final curta e incentivo (breve recapitulação do raciocínio).
  • Resultado faz sentido: os planos estão separados por uma distância vertical constante 1, logo o volume é simplesmente a área da base D vezes 1. A área entre a reta y=2x e a parábola y=2x^{2} no intervalo x\in[0,1] deu \tfrac{1}{3}. Boa! Consegue repetir esse método rápido na prova: encontre projeção no xy, calcule diferença das z, e integre.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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