Calcule o volume da região limitada pelas superfícies
,
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
-
Superfícies fornecidas:
-
-
O enunciado pede: calcular o volume da região limitada por essas quatro superfícies.
-
Observações extraídas do enunciado (dados relevantes):
- As duas últimas equações são planos paralelos:
e . - As duas primeiras são curvas no plano
: (reta) e (parábola). - A região sólida está entre os dois planos e lateralmente limitada pela região do plano
onde as curvas se interceptam.
- As duas últimas equações são planos paralelos:
Passo 2
Escolhendo uma fórmula prática e por quê (explicação didática do método que vamos usar).
- Para calcular volumes entre duas superfícies
e sobre uma região no plano , use-se a fórmula
Explicação simples: para cada ponto
a “espessura” vertical do sólido é
; somando isso (integrando) sobre toda a base
obtém-se o volume.
-
No nosso caso os dois planos podem ser escritos como funções
: - do plano
tem-se ; - do plano
tem-se .
- do plano
-
A diferença entre as alturas é
ou seja, a espessura vertical é constante e igual a
em todo ponto da base
. Então o volume será simplesmente a área da região
no plano
multiplicada por
:
Passo 3
Determinar a região
no plano
(projeção das curvas) — encontrar interseção e limites.
- As curvas que limitam
no plano são e . Para achar onde elas se encontram, resolver:
-
Portanto as interseções ocorrem em
e . Substituindo em obtemos e , respectivamente. Assim os pontos de interseção são e . -
Para saber qual curva fica acima (maior
) entre e , comparar os valores: - para
vale , logo . - Portanto, na faixa
a parábola está abaixo e a reta está acima.
- para
-
Conclusão: a região
é
Passo 4
Montar a integral dupla para a área de
e simplificar usando a espessura constante.
- Como visto, o volume é a área de
:
- Usando integração iterada com as coordenadas determinadas:
Passo 5
Calcular a integral interna e depois a externa — integração passo a passo (método e regras de antiderivadas).
- Integral interna (em
):
Comentário didático: integrar
em relação a
dá
; depois avalia em cima e em baixo.
- Agora integrar em
:
Usar a regra de potências:
para
.
Passo 6
Executar integral em
detalhadamente e avaliar os limites.
- Separe os termos:
- Calcule cada integral usando a antiderivada:
- Então
- Subtraindo:
Passo 7
Interpretação final curta e incentivo (breve recapitulação do raciocínio).
- Resultado faz sentido: os planos estão separados por uma distância vertical constante
, logo o volume é simplesmente a área da base vezes . A área entre a reta e a parábola no intervalo deu . Boa! Consegue repetir esse método rápido na prova: encontre projeção no , calcule diferença das , e integre.