Calcule o volume da região que no primeiro octante abaixo do plano de equação z+2 x+2 y=4 e acima do plano de equação z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região no primeiro octante (isto é, x>=0, y>=0, z>=0) limitada acima pelo plano
z + 2x + 2y = 4
e abaixo pelo plano
z = 0
Para resolver, vamos usar o conceito de volume como integral dupla de z sobre a projeção no plano xy.

Passo 2

Da equação do plano acima, isolamos
z = 4 - 2x - 2y
Como z>=0, segue
4 - 2x - 2y >= 0 Longrightarrow x>=0,;y>=0,;x + y <= 2
Portanto, a projeção D no plano xy é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (0,2).

Passo 3

O volume é dado por
V = integral duplaD l(a<urar),dA = integral duplaD (4 - 2x - 2y),dA

Passo 4

Escolhendo integração iterada em coordenadas cartesianas:
V = integralx=0^2integraly=0^2-x (4 - 2x - 2y),dy,dx
Primeiro, faça a integral em y:
integral0^2-x(4 - 2x - 2y),dy = l[,4y - 2xy - y^2r]0^2-x =4(2-x)-2x(2-x)-(2-x)^2 =4 - 4x + x^2
Agora integre em x:
V = integral0^2 (4 - 4x + x^2),dx = l[,4x - 2x^2 + tfracx^33r]0^2 =8 - 8 + tfrac83 = tfrac83

Resposta

tfrac83

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