Considere A=(x, y, z) ; 0 <= x <= 4, y^2+z^2 <= 1.
A é do tipo I mas não é do tipo II.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a afirmação
“A é do tipo I mas não é do tipo II”,
onde
A=(x,y,z)mid 0<= x<=4,;y^2+z^2<=1
Para isso, vamos usar as definições de região do tipo I e do tipo II em integrais triplas.

Passo 2

Região do tipo I: existem um domínio planar Dyzsubset R^2 e duas funções g1,g2 em Dyz tais que
E=(x,y,z)mid (y,z)in Dyz,;g1(y,z)<= x<= g2(y,z)
No nosso caso basta escolher
Dyz=(y,z)mid y^2+z^2<=1, g1(y,z)=0, g2(y,z)=4
Logo
A=(x,y,z)mid (y,z)in Dyz,;0<= x<=4,
portanto A é do tipo I.

Passo 3

Região do tipo II: existem um domínio planar Dxzsubset R^2 e duas funções h1,h2 em Dxz tais que
E=(x,y,z)mid (x,z)in Dxz,;h1(x,z)<= y<= h2(x,z)

Passo 4

Projete A sobre o plano xz. Como 0<= x<=4 e -1<= z<=1 (por y^2+z^2<=1 implica lvert zrvert<=1), tomamos
Dxz=(x,z)mid 0<= x<=4,;-1<= z<=1
Em cada (x,z)in Dxz, a condição y^2<=1-z^2
-raiz1-z^2;<=;y;<=;raiz1-z^2
Logo
A=(x,y,z)mid (x,z)in Dxz,;-raiz1-z^2<= y<=raiz1-z^2,
isto é, A também é do tipo II.

Resposta

A afirmação “ A é do tipo I mas não é do tipo II” é falsa, pois mostramos que A é simultaneamente do tipo I e do tipo II.

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