Calcule o volume dos seguintes sólidos.
Região do primeiro octante do
limitada pelos planos verticais
e pela sela de cavalo
.
Região do primeiro octante do
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja,
,
,
), é limitado pelos planos verticais
e
, e pela superfície dada pela sela de cavalo
O conteúdo principal é cálculo de volume usando integrais triplas, reduzindo depois a integral em
para uma integral dupla em
e
.
Passo 2
Isolando
na sela de cavalo, temos
Como estamos no primeiro octante e entre
e
e entre
e
, verifica-se que
nesse domínio, de modo que os limites para
são
enquanto em
e
temos
Passo 3
O volume
é dado pela integral tripla
Integrando primeiro em
, obtemos a integral dupla
Passo 4
Calculando a integral interna em
:
Passo 5
Agora integramos em
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.