Calcule o volume dos seguintes sólidos.
Região do primeiro octante do R^3 limitada pelos planos verticais x=1, y=2 e pela sela de cavalo x^2-y^2+z=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja, x>=0, y>=0, z>=0), é limitado pelos planos verticais x=1 e y=2, e pela superfície dada pela sela de cavalo
x^2 - y^2 + z = 2
O conteúdo principal é cálculo de volume usando integrais triplas, reduzindo depois a integral em z para uma integral dupla em x e y.

Passo 2

Isolando z na sela de cavalo, temos
z = 2 - x^2 + y^2
Como estamos no primeiro octante e entre x=0 e x=1 e entre y=0 e y=2, verifica-se que 2 - x^2 + y^2>=0 nesse domínio, de modo que os limites para z são
0 ,<= z ,<=, 2 - x^2 + y^2,
enquanto em x e y temos
0 ,<= x ,<= 1 e 0 ,<= y ,<= 2

Passo 3

O volume V é dado pela integral tripla
V = integral0^1!integral0^2!integral0^,2 - x^2 + y^2 dz ,dy,dx
Integrando primeiro em z, obtemos a integral dupla
V = integral0^1!integral0^2 l(2 - x^2 + y^2r),dy,dx

Passo 4

Calculando a integral interna em y:
integral0^2l(2 - x^2 + y^2r),dy = (2 - x^2),l[yr]0^2 ;+;l[tfracy^33r]0^2 = 2,(2 - x^2) ;+;tfrac83 = tfrac203 ;-;2x^2

Passo 5

Agora integramos em x:
V = integral0^1l(tfrac203 - 2x^2r),dx = tfrac203,l[xr]0^1 ;-;2,l[tfracx^33r]0^1 = tfrac203 - tfrac23 = tfrac183 = 6

Resposta

O volume do sólido é 6 unidades cúbicas.

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