Encontre a equação da reta tangente à curva gamma no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
gamma(t)=(sen(2 t)+cos (t), cos (2 t)-sen(t)) em t=pi

Passo 1

O enunciado fornece a curva paramétrica
gamma(t)=l(sen(2t)+cos(t),,cos(2t)-sen(t)r)
e pede a equação da reta tangente em t=pi. Vamos aplicar derivação paramétrica para obter o vetor tangente e, em seguida, usar a fórmula da reta em ponto-declividade.

Passo 2

Calculamos as derivadas de cada componente:
x(t)=sen(2t)+cos(t) Longrightarrow x'(t)=2cos(2t)-sen(t),
y(t)=cos(2t)-sen(t) Longrightarrow y'(t)=-2sen(2t)-cos(t)

Passo 3

Em t=pi temos
cos(2pi)=1, sen(2pi)=0, cos(pi)=-1, sen(pi)=0.
Logo o ponto de tangência é
gamma(pi)=l(0+(-1),,1-0r)=(-1,1),
e o vetor tangente é
gamma'(pi)=l(2cdot1-0,,-2cdot0-(-1)r)=(2,1)
Dessa forma a inclinação da reta é m=tfracy'(pi)x'(pi)=tfrac12.

Passo 4

Usando a forma ponto-declividade:
y-1=12,(x+1) Longrightarrow y=12,x+32

Resposta

A equação da reta tangente é
y=12,x+32

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