Calcule o volume dos seguintes sólidos.
Região do primeiro octante do
limitada pelos planos verticais
e pelo paraboloide de revolução
.
Região do primeiro octante do
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos
,
e pelo paraboloide de revolução
Para resolver isso vamos montar uma integral tripla de volume em coordenadas cartesianas, integrando primeiro em
, depois em
e por fim em
.
Passo 2
A região em
é
pois em todo esse retângulo vale
. Logo o volume é
Passo 3
Integramos primeiro em
:
Isso reduz
a
Passo 4
Agora integramos em
(para
fixo):
Então
Passo 5
Por fim, integramos em
:
Resposta
O volume do sólido é
.