Calcule o volume dos seguintes sólidos.
Região do primeiro octante do R^3 limitada pelos planos verticais x=4, y=3 e pelo paraboloide de revolução x^2+y^2+z=25.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos x=4, y=3 e pelo paraboloide de revolução
x^2+y^2+z=25
Para resolver isso vamos montar uma integral tripla de volume em coordenadas cartesianas, integrando primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

A região em xy é
0 <= x <= 4, 0 <= y <= 3,
pois em todo esse retângulo vale x^2+y^2<= 4^2+3^2=25. Logo o volume é
V = integralx=0^4integraly=0^3integralz=0^25 - x^2-y^2 dz,dy,dx

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integral0^25 - x^2-y^2 dz = 25 - x^2 - y^2
Isso reduz V a
V = integral0^4integral0^3l(25 - x^2 - y^2r),dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y (para x fixo):
integral0^3l(25 - x^2 - y^2r),dy = l[25y - x^2y - tfracy^33r]0^3 = 75 - 3x^2 - 9 = 66 - 3x^2
Então
V = integral0^4l(66 - 3x^2r),dx

Passo 5

Por fim, integramos em x:
integral0^4l(66 - 3x^2r),dx = l[66x - x^3r]0^4 = 264 - 64 = 200

Resposta

O volume do sólido é 200.

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