Encontre a equação da reta tangente à curva gamma no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
gamma(t)=(e^t sen(pi t), e^2 t) em t=0

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva paramétrica
gamma(t)=l(e^tsin(pi t),,e^2tr)
no ponto correspondente a t=0. Isso envolve 1) encontrar o ponto gamma(0), 2) calcular a derivada vetorial gamma'(t), 3) avaliar gamma'(0) para obter a inclinação e 4) usar a fórmula ponto-declive.

Passo 2

Calcular o ponto em t=0:
gamma(0)=l(e^0sin(0),,e^2cdot0r)=(1cdot0,,1)=(0,1)

Passo 3

Derivar cada componente de gamma(t):
x(t)=e^tsin(pi t) Longrightarrow x'(t)=ddtl(e^tsin(pi t)r) =e^tsin(pi t)+e^t,picos(pi t)
y(t)=e^2t Longrightarrow y'(t)=ddtl(e^2tr)=2,e^2t

Passo 4

Avaliar as derivadas em t=0:
x'(0)=e^0l(sin(0)+picos(0)r)=0+pi=pi,
y'(0)=2,e^0=2
O vetor tangente em t=0 é (pi,2) e a inclinação da reta é
m=y'(0)x'(0)=2pi

Passo 5

Usar a fórmula ponto-declive y-y0=m(x-x0) com (x0,y0)=(0,1) e m=tfrac2pi:
y-1=2pi(x-0) Longrightarrow y=2pix+1

Resposta

A equação da reta tangente é
y=2pi,x+1

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