(3) Calcule o volume do selido delimitado pelo paraboloide t=4-x^{2}-y^{2} e pelo plano z=0

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido delimitado pelo paraboloide \;t=4-x^{2}-y^{2}\; e pelo plano \;z=0\;.\n
Informações dadas e observações iniciais:\n
  • Uma superfície é dada por \;t=4-x^{2}-y^{2}\;.\n
  • A outra superfície é o plano \;z=0\;.\n
  • Há uma pequena inconsistência de notação: uma variável vertical está escrita como \;t\; e a outra como \;z\;. Vou assumir que ambas representam a mesma coordenada vertical (ou seja, \;t\; e \;z\; são a mesma variável). Se não for esse o caso, não há informação suficiente; assumirei então que o paraboloide é \;z=4-x^{2}-y^{2}\;.\n
  • O que se pede é o volume da região entre essas duas superfícies (a parte do paraboloide que fica acima do plano \;z=0\;).

Passo 2

Encontrar a curva de interseção entre as duas superfícies para determinar a projeção no plano \;xy\;.\n
Igualamos \;z\; do paraboloide ao \;z\; do plano para achar onde se encontram:
0 = 4 - x^{2} - y^{2}.
Rearranjando,
x^{2} + y^{2} = 4.
Essa é a equação de um círculo de raio \;2\; no plano \;xy\;. Portanto a projeção da região sólida sobre o plano \;xy\; é o disco
D = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2} \le 4\}.

Passo 3

Explicar a fórmula para o volume e por que ela vale aqui.\n
Se uma região sólida está entre duas superfícies gráficas z = f(x,y) (topo) e z = g(x,y) (fundo), o volume é dado por
V = \iint_{D} \bigl(f(x,y)-g(x,y)\bigr)\,dA,
onde D é a projeção no plano xy e dA é o elemento de área no plano xy.\n
No nosso caso:
  • f(x,y) é o paraboloide \;f(x,y)=4-x^{2}-y^{2}\; (a parte acima).
  • g(x,y) é o plano \;g(x,y)=0\;.\n
    Logo a altura em cada ponto (x,y) do disco D é \;4-x^{2}-y^{2}\; e
V = \iint_{D} (4 - x^{2} - y^{2})\,dA.

Passo 4

Escolher coordenadas apropriadas para calcular a integral e explicar por quê.\n
A região D é um disco centrado na origem, então é muito mais simples usar coordenadas polares. Em coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área transforma-se como
dA = r\,dr\,d\theta.
Além disso, x^{2}+y^{2}=r^{2}. Os limites para o disco de raio \;2\; são \;0\le r\le 2\; e \;0\le \theta\le 2\pi\;.

Passo 5

Montar a integral em polares substituindo tudo e escrever explicitamente o integrando.\n
Substituindo em \;V=\iint_{D} (4 - x^{2} - y^{2})\,dA\; obtemos
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \bigl(4 - r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.
Explicando o integrando: \;(4-r^{2})\; é a altura do sólido em termos de r e o fator extra \;r\; vem do Jacobiano da transformação para polares (ou seja, do \;dA=r\,dr\,d\theta\;).

Passo 6

Calcular a integral passo a passo (primeiro em r, depois em \theta).\n
Primeiro calcule a integral interna em r:
\int_{0}^{2} (4-r^{2})\,r\,dr = \int_{0}^{2} (4r - r^{3})\,dr.
Integramos termo a termo:
\int 4r\,dr = 2r^{2},\qquad \int r^{3}\,dr = \tfrac{1}{4}r^{4}.
Portanto a primitiva é \;2r^{2} - \tfrac{1}{4}r^{4}\;. Avaliando de \;0\; a \;2\;:
\Bigl[2r^{2} - \tfrac{1}{4}r^{4}\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(2\cdot 2^{2} - \tfrac{1}{4}\cdot 2^{4}\bigr) - 0 = \bigl(2\cdot 4 - \tfrac{1}{4}\cdot 16\bigr) = \bigl(8 - 4\bigr) = 4.
Então a integral interna dá \;4\;. Agora integramos em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} 4\,d\theta = 4\theta\Big|_{0}^{2\pi} = 4\cdot 2\pi = 8\pi.

Passo 7

Breve verificação e comentário final (pra te dar confiança):\n
Unidades estão coerentes (volume proporcional à área do disco \pi\cdot 2^{2} vezes uma escala média da altura), e o valor obtido \;8\pi\; é razoável: a altura máxima do paraboloide é \;4\; no centro e a altura vai a zero no raio \;2\;, então um valor da ordem de \;O(10)\; em termos de \pi faz sentido.

Resposta

\;8\pi\;

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