Calcule o volume do sólido
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede.
Conteúdo: cálculo de volume por integrais em coordenadas esféricas (precisamos saber a transformação para (r, φ, θ) e o jacobiano r² sin φ) e integrar potências de seno.
Enunciado: o sólido W é definido por
Conteúdo: cálculo de volume por integrais em coordenadas esféricas (precisamos saber a transformação para (r, φ, θ) e o jacobiano r² sin φ) e integrar potências de seno.
Enunciado: o sólido W é definido por
Ou seja, é a parte da bola de raio 1 centrada em (0,1,0) que fica acima do cone z=√(x²+y²).
Passo 2
Trocar para coordenadas esféricas (origem em (0,0,0)):
x = r sinφ cosθ,
y = r sinφ sinθ,
z = r cosφ,
jacobiano dV = r² sinφ dr dφ dθ.
x = r sinφ cosθ,
y = r sinφ sinθ,
z = r cosφ,
jacobiano dV = r² sinφ dr dφ dθ.
- Cone z≥√(x²+y²) vira
- Bola x²+(y−1)²+z²≤1:
Pra sinφ≥0 (φ∈[0,π/4]), a condição 2 implica sinθ≥0 ⇒ θ∈[0,π].
Passo 3
Agora a integral de volume fica
Primeiro integramos em r:
Então
Passo 4
Calcular as duas integrais separadas:
Juntando tudo: