Calcule o volume do sólido
W=(x, y, z) in R^3 ; x^2+(y-1)^2+z^2 <= 1 e z >= raizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede.
Conteúdo: cálculo de volume por integrais em coordenadas esféricas (precisamos saber a transformação para (r, φ, θ) e o jacobiano r² sin φ) e integrar potências de seno.
Enunciado: o sólido W é definido por
x^2+(y-1)^2+z^2<=1, z>=raizx^2+y^2
Ou seja, é a parte da bola de raio 1 centrada em (0,1,0) que fica acima do cone z=√(x²+y²).

Passo 2

Trocar para coordenadas esféricas (origem em (0,0,0)):
x = r sinφ cosθ,
y = r sinφ sinθ,
z = r cosφ,
jacobiano dV = r² sinφ dr dφ dθ.
  1. Cone z≥√(x²+y²) vira
rcosφ >= rsinφ Longrightarrow cosφ>=sinφ Longrightarrow φ<=pi4
  1. Bola x²+(y−1)²+z²≤1:
r^2 -2rsinφsinθ <= 0 Longrightarrow 0<= r<= 2sinφsinθ
Pra sinφ≥0 (φ∈[0,π/4]), a condição 2 implica sinθ≥0 ⇒ θ∈[0,π].

Passo 3

Agora a integral de volume fica
V=integralθ=0^pi!integralφ=0^pi/4!integralr=0^2sinφsinθ r^2sinφ,dr,dφ,dθ
Primeiro integramos em r:
integral0^2sinφsinθr^2,dr =(2sinφsinθ)^33 =8,sin^3φ,sin^3θ3
Então
V =integral0^pi!integral0^pi/4 83,sin^3φ,sin^3θ;sinφ,dφ,dθ =83 l(integral0^pisin^3θ,dθr) l(integral0^pi/4sin^4φ,dφr)

Passo 4

Calcular as duas integrais separadas:
integral0^pisin^3θ,dθ = 43
integral0^pi/4sin^4φ,dφ =integral0^pi/4l(tfrac38-tfraccos2φ4+tfraccos4φ32r)dφ = 3pi32-14
Juntando tudo:
V =83;cdot43;l(3pi32-14r) =329;l(3pi32-14r) =3pi-89

Resposta

boxedV=3pi-89

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