Encontre o volume do sólido delimitado no primeiro octante pelos planos de equação
e
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja,
,
,
) e é “cortado” por dois planos:
Conteúdo: cálculo de volume usando integral dupla em coordenadas cartesianas.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Entender a projeção desse sólido no plano
. - Montar a integral dupla para
. - Calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Definir a região de projeção
no plano
.
-
Como estamos no primeiro octante, já temos
e . -
Para existir altura, precisamos que o plano de cima fique acima do de baixo:
Logo,
é o triângulo
Passo 3
Montar e calcular a integral dupla do volume:
Escolhendo
de
a
e, para cada
,
de
a
, temos
Calculemos por partes:
- Integramos em
:
- Simplificando:
- Agora integramos em
:
Resposta
O volume do sólido é
.