Encontre o volume do sólido delimitado no primeiro octante pelos planos de equação z=x+y e z=6-x-y.

Passo 1

Beleza, o exercício pede o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja, z = x + y e z = 6 - x - y , , ) e é “cortado” por dois planos:
Conteúdo: cálculo de volume usando integral dupla em coordenadas cartesianas.
O que vamos precisar:
  1. Entender a projeção desse sólido no plano .
  2. Montar a integral dupla para ã.
  3. Calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Definir a região de projeção x + y ;<=; 6 - (x + y) ;Longrightarrow; 2(x+y)<=6 ;Longrightarrow; x + y <= 3 no plano R = l(x,y): x>=0,;y>=0,;x+y<=3r .
  • Como estamos no primeiro octante, já temos e .
  • Para existir altura, precisamos que o plano de cima fique acima do de baixo:
Logo, é o triângulo

Passo 3

Montar e calcular a integral dupla do volume:
V = integral duplaR l((6 - x - y) - (x + y)r),dA = integral duplaR (6 - 2x - 2y),dx,dy
Escolhendo V = integralx=0^3 integraly=0^3-x (6 - 2x - 2y),dy,dx de integral0^3-x (6 - 2x - 2y),dy = l[(6-2x)y - y^2r]0^3-x = (6-2x)(3-x) - (3-x)^2 a (6-2x)(3-x) - (3-x)^2 = (18 -6x -6x +2x^2) - (9 -6x + x^2) = 9 -6x + x^2 = (3 - x)^2 e, para cada V = integral0^3 (3 - x)^2,dx = [ -tfrac(3 - x)^33 ]0^3 = 3^33 - 0 = 9 , de a , temos
Calculemos por partes:
  1. Integramos em :
  1. Simplificando:
  1. Agora integramos em :

Resposta

O volume do sólido é .

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