Encontre o máximo e o mínimo da função sujeita a condição .
Passo 1
Beleza, o que o exercício pede é: “Achar o máximo e o mínimo de
com a condição .”
Isso é um problema clássico de otimização com restrição – vamos usar multiplicadores de Lagrange (ou uma parametrização trig) para resolver. Não assume nada pronto: vou explicar o que é cada coisa.
Passo 2
Método de Lagrange em poucas palavras: quando você quer extremar obedecendo , define
e impõe
Isso dá um sistema de três equações que resolve pra .
Passo 3
Vamos calcular:
As derivadas são
Passo 4
Primeiro olhamos casos fáceis:
Se , da restrição . Aí .
Se , e .
Então 0 é valor crítico. Agora falta o caso geral e .
Passo 5
Para t=yx dá pra dividir as duas primeiras equações por 3t^3+2t^2-6t-1=0 e por t1approx1,211, t2approx-0,160, t3approx-1,718 , eliminar x^2=11+t^2, y=tx, e achar a razão
f(x,y)=x^3,(t+3t^2)=pmt+3t^2(1+t^2)^3/2,
O sistema vira uma única equação cúbica em |f(t1)|approx1,447, |f(t2)|approx0,080, |f(t3)|approx0,909 :
Ela tem três raízes reais aproximadas
Para cada a gente obtém
e então
onde o “” depende do sinal de .
Calculando numericamente, os valores de nessas raízes são, em módulo,
O maior valor positivo aparece em , e pelo sinal-espelho (se trocar por muda o sinal de ) o mínimo é o negativo desse mesmo valor.
Resposta
Máximo de vale aproximadamente
Mínimo de vale aproximadamente .