Encontre o máximo e o mínimo da função f(x, y)=x^2 y+3 x y^2 sujeita a condição x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, o que o exercício pede é: “Achar o máximo e o mínimo de
f(x,y)=x^2y+3xy^2
com a condição .”
Isso é um problema clássico de otimização com restrição – vamos usar multiplicadores de Lagrange (ou uma parametrização trig) para resolver. Não assume nada pronto: vou explicar o que é cada coisa.

Passo 2

Método de Lagrange em poucas palavras: quando você quer extremar L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambdal(g(x,y)r) obedecendo partialLpartial x=0, partialLpartial y=0, g(x,y)=0 , define
e impõe
Isso dá um sistema de três equações que resolve pra .

Passo 3

Vamos calcular:
L=x^2y+3xy^2-lambda(x^2+y^2-1)
As derivadas são
Lx=2xy+3y^2-2lambda x=0, Ly=x^2+6xy-2lambda y=0, x^2+y^2=1

Passo 4

Primeiro olhamos casos fáceis:
  • Se , da restrição . Aí .
  • Se , e .
Então 0 é valor crítico. Agora falta o caso geral e .

Passo 5

Para t=yx dá pra dividir as duas primeiras equações por 3t^3+2t^2-6t-1=0 e por t1approx1,211, t2approx-0,160, t3approx-1,718 , eliminar x^2=11+t^2, y=tx, e achar a razão
f(x,y)=x^3,(t+3t^2)=pmt+3t^2(1+t^2)^3/2,
O sistema vira uma única equação cúbica em |f(t1)|approx1,447, |f(t2)|approx0,080, |f(t3)|approx0,909 :
Ela tem três raízes reais aproximadas
Para cada a gente obtém
e então
onde o “ ” depende do sinal de .
Calculando numericamente, os valores de nessas raízes são, em módulo,
O maior valor positivo aparece em , e pelo sinal-espelho (se trocar por muda o sinal de ) o mínimo é o negativo desse mesmo valor.

Resposta

Máximo de vale aproximadamente
Mínimo de vale aproximadamente .

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