Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
da região delimitada pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região em torno do eixo dos $ x $. As retas que delimitam essa região são $ y = 2x $, $ y = -2x + 4 $ e $ x = 2 $. Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as retas se interceptam para entender melhor a região que vamos girar. Vamos igualar as equações das duas retas:
Resolvendo para $ x $:
Então, as retas se cruzam em $ x = 1 $. Agora, sabemos que a região está limitada entre $ x = 0 $ (onde $ y = 0 $) e $ x = 2 $.
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções que delimitam a parte superior e inferior da região. Para $ x $ entre 0 e 1, a reta superior é $ y = 2x $ e a inferior é $ y = -2x + 4 $. Entretanto, como estamos rotacionando ao redor do eixo $ x $, precisamos ter isso em mente para o método dos discos.
Passo 4
No método dos discos, o volume $ V $ é dado por:
Onde $ f(x) $ é a função superior e $ g(x) $ a inferior. No nosso caso, para $ x $ entre 0 e 2, a função superior é $ y = -2x + 4 $ e a inferior é $ y = 2x $.
Passo 5
Vamos montar a integral para calcular o volume:
Agora, vamos expandir os termos dentro da integral:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliado de 0 a 2:
Ops, parece que houve um erro na identificação das funções superiores e inferiores! Vamos corrigir isso.
Passo 7
Vamos reavaliar as funções. Para $ x $ entre 0 e 1, $ y = 2x $ é a inferior e $ y = -2x + 4 $ é a superior. Para $ x $ entre 1 e 2, $ y = 2x $ ainda é a inferior, mas $ y = -2x + 4 $ já está abaixo de $ y = 2x $. Portanto, precisamos dividir a integral em duas partes:
Passo 8
Vamos calcular cada integral separadamente.
Para $ \int_{0}^{1} [(-2x + 4)^2 - (2x)^2] , dx $:
Como já expandimos:
Para $ \int_{1}^{2} [(2x)^2 - (-2x + 4)^2] , dx $:
Passo 9
Somando as duas partes:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ 16\pi $ unidades cúbicas.