Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x da região delimitada pelas retas y=2 x, y=-2 x+4 e x=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região em torno do eixo dos $ x $. As retas que delimitam essa região são $ y = 2x $, $ y = -2x + 4 $ e $ x = 2 $. Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as retas se interceptam para entender melhor a região que vamos girar. Vamos igualar as equações das duas retas:
2x = -2x + 4
Resolvendo para $ x $:
x
Então, as retas se cruzam em $ x = 1 $. Agora, sabemos que a região está limitada entre $ x = 0 $ (onde $ y = 0 $) e $ x = 2 $.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções que delimitam a parte superior e inferior da região. Para $ x $ entre 0 e 1, a reta superior é $ y = 2x $ e a inferior é $ y = -2x + 4 $. Entretanto, como estamos rotacionando ao redor do eixo $ x $, precisamos ter isso em mente para o método dos discos.

Passo 4

No método dos discos, o volume $ V $ é dado por:
V
Onde $ f(x) $ é a função superior e $ g(x) $ a inferior. No nosso caso, para $ x $ entre 0 e 2, a função superior é $ y = -2x + 4 $ e a inferior é $ y = 2x $.

Passo 5

Vamos montar a integral para calcular o volume:
V = pi integral0^2 [ (-2x + 4)^2 - (2x)^2 ] , dx
Agora, vamos expandir os termos dentro da integral:
(-2x + 4)^2 = 4x^2 - 16x + 16
(2x)^2 = 4x^2
Substituindo na integral:
V = pi integral0^2 (4x^2 - 16x + 16 - 4x^2) , dx
V = pi integral0^2 (-16x + 16) , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (-16x + 16) , dx = -8x^2 + 16x
Avaliado de 0 a 2:
V = pi [ -8(2)^2 + 16(2) - (-8(0)^2 + 16(0)) ]
V = pi [ -32 + 32 - 0 ]
V = pi (0)
Ops, parece que houve um erro na identificação das funções superiores e inferiores! Vamos corrigir isso.

Passo 7

Vamos reavaliar as funções. Para $ x $ entre 0 e 1, $ y = 2x $ é a inferior e $ y = -2x + 4 $ é a superior. Para $ x $ entre 1 e 2, $ y = 2x $ ainda é a inferior, mas $ y = -2x + 4 $ já está abaixo de $ y = 2x $. Portanto, precisamos dividir a integral em duas partes:
x

Passo 8

Vamos calcular cada integral separadamente.
Para $ \int_{0}^{1} [(-2x + 4)^2 - (2x)^2] , dx $:
Como já expandimos:
integral0^1 [(-2x + 4)^2 - (2x)^2] , dx
(-2x + 4)^2 - (2x)^2 = 4x^2 - 16x + 16 - 4x^2 = -16x + 16
Para $ \int_{1}^{2} [(2x)^2 - (-2x + 4)^2] , dx $:
integral0^1 (-16x + 16) , dx = [ -8x^2 + 16x ]0^1 = (-8 + 16) - (0 + 0) = 8
integral1^2 [(2x)^2 - (-2x + 4)^2] , dx

Passo 9

Somando as duas partes:
V = pi (8 + 8) = pi times 16

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ 16\pi $ unidades cúbicas.

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