Calcule o volume do sólido cuja a base é o semicirculo
, e cujas seções perpendiculares ao eixo
são triângulos equiláteros.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte situação e pede o volume do sólido:
- A base do sólido é a região semicircular definida por
com . - As seções transversais (perpendiculares ao eixo
) são triângulos equiláteros. - Pergunta: calcular o volume do sólido em função de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O intervalo de
onde a base existe é (a semicircunferência sobre o diâmetro no eixo ). - Para cada
fixo, a base do triângulo transversal é o segmento vertical contido na semicircunferência nesse .
Passo 2
Explicação do método que vamos usar (integração por seções transversais), sem resolver ainda:
- A ideia é que o volume total é a soma (integral) das áreas das seções transversais ao longo de
. - Fórmula geral:
onde é a área da seção perpendicular ao eixo em posição , e é o intervalo de onde a base existe (aqui a ). - Vou agora ensinar a fórmula da área do triângulo equilátero, que precisamos para
.
Passo 3
Fórmula da área do triângulo equilátero e derivação curta (para você lembrar na prova):
- Se
é o lado de um triângulo equilátero, sua altura vale . Isso vem do triângulo retângulo formado ao traçar a altura: a base é , a altura divide a base em dois segmentos de comprimento , logo . - A área do triângulo é
. Substituindo a base e a altura obtemos - Portanto, para um triângulo equilátero de lado
, . Guarde essa fórmula.
Passo 4
Encontrar a base
do triângulo em função de
:
- Para um
fixo com , a região semicircular tem variando entre e (peguei isso da definição da semicircunferência e da condição ). - Assim o comprimento do segmento vertical na base (que é a base do triângulo transversal) é
- Observação importante: aqui a base é somente a metade superior (semicírculo), por isso o comprimento é
e não .
Passo 5
Escrever a área da seção
usando a fórmula do triângulo equilátero:
- Substituindo
na fórmula da área, temos
Passo 6
Montar a integral do volume e tirar vantagem da simetria:
- O volume é
- A função integranda
é par (mesma para e ), então podemos integrar de a e multiplicar por :
Passo 7
Calcular a integral passo a passo:
- Primeiro calcule a primitiva de
. Uma primitiva é . - Substituindo nos limites
e : - Agora multiplique pelo fator que estava fora da integral:
Passo 8
Interpretando o resultado e checando dimensionalmente (curta verificação):
- O volume tem dimensão de comprimento cúbico e é proporcional a
, o que faz sentido. - Para te dar confiança: se
aumenta, o volume cresce como , coerente com sólidos em escala.