Calcule o volume do sólido cuja a base é o semicirculo x^{2}+y^{2} \leq r^{2}, y \geq 0, e cujas seções perpendiculares ao eixo x são triângulos equiláteros.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte situação e pede o volume do sólido:
  • A base do sólido é a região semicircular definida por x^{2}+y^{2}\le r^{2} com y\ge 0.
  • As seções transversais (perpendiculares ao eixo x) são triângulos equiláteros.
  • Pergunta: calcular o volume do sólido em função de r.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O intervalo de x onde a base existe é -r\le x\le r (a semicircunferência sobre o diâmetro no eixo x).
  • Para cada x fixo, a base do triângulo transversal é o segmento vertical contido na semicircunferência nesse x.

Passo 2

Explicação do método que vamos usar (integração por seções transversais), sem resolver ainda:
  • A ideia é que o volume total é a soma (integral) das áreas das seções transversais ao longo de x.
  • Fórmula geral: V=\int_{a}^{b} A(x)\,dx, onde A(x) é a área da seção perpendicular ao eixo x em posição x, e [a,b] é o intervalo de x onde a base existe (aqui -r a r).
  • Vou agora ensinar a fórmula da área do triângulo equilátero, que precisamos para A(x).

Passo 3

Fórmula da área do triângulo equilátero e derivação curta (para você lembrar na prova):
  • Se s é o lado de um triângulo equilátero, sua altura h vale \displaystyle h=\frac{\sqrt{3}}{2}s. Isso vem do triângulo retângulo formado ao traçar a altura: a base é s, a altura divide a base em dois segmentos de comprimento s/2, logo h=\sqrt{s^{2}-(s/2)^{2}}=\sqrt{s^{2}-s^{2}/4}=\sqrt{3}s/2.
  • A área do triângulo é \displaystyle A=\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}. Substituindo a base s e a altura \frac{\sqrt{3}}{2}s obtemos A=\frac{1}{2}\,s\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}s=\frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}.
  • Portanto, para um triângulo equilátero de lado s, \displaystyle A=\frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}. Guarde essa fórmula.

Passo 4

Encontrar a base s(x) do triângulo em função de x:
  • Para um x fixo com -r\le x\le r, a região semicircular tem y variando entre y_{\min}=0 e y_{\max}=\sqrt{r^{2}-x^{2}} (peguei isso da definição da semicircunferência x^{2}+y^{2}=r^{2} e da condição y\ge0).
  • Assim o comprimento do segmento vertical na base (que é a base do triângulo transversal) é s(x)=y_{\max}-y_{\min}=\sqrt{r^{2}-x^{2}}-0=\sqrt{r^{2}-x^{2}}.
  • Observação importante: aqui a base é somente a metade superior (semicírculo), por isso o comprimento é \sqrt{r^{2}-x^{2}} e não 2\sqrt{r^{2}-x^{2}}.

Passo 5

Escrever a área da seção A(x) usando a fórmula do triângulo equilátero:
  • Substituindo s(x) na fórmula da área, temos A(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(s(x)\bigr)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\bigr)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(r^{2}-x^{2}\bigr).

Passo 6

Montar a integral do volume e tirar vantagem da simetria:
  • O volume é V=\int_{-r}^{r} A(x)\,dx=\int_{-r}^{r}\frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(r^{2}-x^{2}\bigr)\,dx.
  • A função integranda \frac{\sqrt{3}}{4}(r^{2}-x^{2}) é par (mesma para x e -x), então podemos integrar de 0 a r e multiplicar por 2: V=2\int_{0}^{r}\frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(r^{2}-x^{2}\bigr)\,dx=\frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{r}\bigl(r^{2}-x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 7

Calcular a integral passo a passo:
  • Primeiro calcule a primitiva de \bigl(r^{2}-x^{2}\bigr). Uma primitiva é \displaystyle r^{2}x-\frac{x^{3}}{3}.
  • Substituindo nos limites 0 e r: \int_{0}^{r}\bigl(r^{2}-x^{2}\bigr)\,dx=\Bigl[r^{2}x-\frac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{r}=r^{2}\cdot r-\frac{r^{3}}{3}-\bigl(0-0\bigr)=r^{3}-\frac{r^{3}}{3}=\frac{2}{3}r^{3}.
  • Agora multiplique pelo fator que estava fora da integral: V=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2}{3}r^{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}r^{3}.

Passo 8

Interpretando o resultado e checando dimensionalmente (curta verificação):
  • O volume tem dimensão de comprimento cúbico e é proporcional a r^{3}, o que faz sentido.
  • Para te dar confiança: se r aumenta, o volume cresce como r^{3}, coerente com sólidos em escala.

Resposta

\displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{3}\,r^{3}

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