Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x, y ) tais que
1 \leq x \leq 4 e 0 \leq y \leq \sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de pontos (x,y) tais que
1 \leq x \leq 4
e
0 \leq y \leq \sqrt{x},
e pede o volume do sólido obtido ao girar esse conjunto em torno do eixo x. Em outras palavras, queremos o volume do corpo gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=0, y=\sqrt{x}, x=1 e x=4 ao redor do eixo x.

Passo 2

Vamos resolver somando volumes de fatias finas perpendiculares ao eixo x. Cada fatia, para um valor fixo de x, é um disco (círculo espesso) gerado pela rotação do segmento vertical de y=0 até y=\sqrt{x}. A ideia é aproximar o sólido por muitas fatias de espessura \,dx, calcular o volume aproximado de cada fatia e integrar de x=1 a x=4. Esta é a justificativa para escrever o volume como uma integral da área da seção transversal.

Passo 3

Para um x fixo, a seção transversal perpendicular ao eixo x é um círculo cujo raio r(x) é a distância do eixo x até a curva superior y=\sqrt{x}. Logo,
r(x)=\sqrt{x}.
Explicando devagar: o eixo de rotação é y=0. O ponto mais alto da região naquele x tem coordenada y=\sqrt{x}. A rotação desse segmento vertical produz um círculo de raio igual a essa altura.

Passo 4

A área do círculo de raio r(x) é
A(x)=\pi\big(r(x)\big)^2.
Substituindo r(x)=\sqrt{x} obtemos
A(x)=\pi\big(\sqrt{x}\big)^2=\pi x.
Aqui explico cada símbolo: A(x) é a área da seção transversal no ponto x, \pi é a constante geométrica, r(x) é o raio dependente de x.

Passo 5

O volume total é a integral da área das seções ao longo de x de 1 a 4:
V=\int_{1}^{4} A(x)\,dx=\int_{1}^{4} \pi x\,dx.
Motivo: cada fatia de espessura dx tem volume aproximado A(x)\,dx; somando (integrando) obtemos o volume exato.

Passo 6

Calculamos a integral passo a passo. Primeiro fatoramos \pi que é constante:
V=\pi\int_{1}^{4} x\,dx.
A primitiva de x em relação a x é \dfrac{x^2}{2}. Portanto
V=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{4}.

Passo 7

Avaliamo os limites da primitiva:
\frac{4^2}{2}=\frac{16}{2}=8, \qquad \frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}.
Subtraindo,
\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{4}=8-\frac{1}{2}=\frac{15}{2}.
Multiplicando por \pi,
V=\pi\cdot\frac{15}{2}=\frac{15\pi}{2}.
Se quiser interpretar numericamente, \dfrac{15\pi}{2}=7{,}5\pi, mas a forma fracionária é mais limpa.

Resposta

\dfrac{15\pi}{2}

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