Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares (
) tais que
e
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de pontos
tais que
e
e pede o volume do sólido obtido ao girar esse conjunto em torno do eixo
. Em outras palavras, queremos o volume do corpo gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
,
,
e
ao redor do eixo
.
Passo 2
Vamos resolver somando volumes de fatias finas perpendiculares ao eixo
. Cada fatia, para um valor fixo de
, é um disco (círculo espesso) gerado pela rotação do segmento vertical de
até
. A ideia é aproximar o sólido por muitas fatias de espessura
, calcular o volume aproximado de cada fatia e integrar de
a
. Esta é a justificativa para escrever o volume como uma integral da área da seção transversal.
Passo 3
Para um
fixo, a seção transversal perpendicular ao eixo
é um círculo cujo raio
é a distância do eixo
até a curva superior
. Logo,
Explicando devagar: o eixo de rotação é
. O ponto mais alto da região naquele
tem coordenada
. A rotação desse segmento vertical produz um círculo de raio igual a essa altura.
Passo 4
A área do círculo de raio
é
Substituindo
obtemos
Aqui explico cada símbolo:
é a área da seção transversal no ponto
,
é a constante geométrica,
é o raio dependente de
.
Passo 5
O volume total é a integral da área das seções ao longo de
de
a
:
Motivo: cada fatia de espessura
tem volume aproximado
; somando (integrando) obtemos o volume exato.
Passo 6
Calculamos a integral passo a passo. Primeiro fatoramos
que é constante:
A primitiva de
em relação a
é
. Portanto
Passo 7
Avaliamo os limites da primitiva:
Subtraindo,
Multiplicando por
,
Se quiser interpretar numericamente,
, mas a forma fracionária é mais limpa.