Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x, y ) tais que
1 \leq x \leq 3 e 0 \leq y \leq x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto de pontos (x,y) tais que 1 \leq x \leq 3 e 0 \leq y \leq x. Informações importantes que o enunciado dá:
  • O intervalo em x é [1,3].
  • Para cada x nessa faixa, y varia de 0 até x (ou seja, a fronteira superior do conjunto é a reta y=x).
  • O eixo de rotação é o eixo x.
    A pergunta é: qual é o volume desse sólido de revolução?

Passo 2

Ideia geométrica (passo-a-passo bem mastigado): pegue um valor fixo de x entre 1 e 3. Para esse x há um segmento vertical de y=0 até y=x. Se eu girar esse segmento em torno do eixo x, ele gera um disco (um cilindrinho muito fino) cujo raio é exatamente o comprimento do segmento, ou seja, o raio é a função y avaliada na borda superior. Esse disco tem espessura infinitesimal dx. O volume de um disco de raio R e espessura dx é área da base vezes espessura, ou seja:
dV = \pi R^{2}\,dx.
Aqui dV representa o volume elemental correspondente ao intervalo infinitesimal [x,x+dx].

Passo 3

Identificar o raio em função de x: como o segmento vertical vai de y=0 até y=x, o raio do disco em abscissa x é
R(x)=x.
Explicando: R(x) é a distância do eixo x até a borda superior do conjunto, que é a função y=x. Portanto usamos R(x)=x na fórmula do disco.

Passo 4

Montar a integral do volume somando (integrando) todos os discos de x=1 até x=3. Substituindo R(x) em dV=\pi R^{2}\,dx obtemos a integral definida:
V=\int_{x=1}^{3} \pi \bigl(R(x)\bigr)^{2}\,dx
e, com R(x)=x,
V=\int_{1}^{3} \pi x^{2}\,dx.
Aqui o símbolo \int_{1}^{3} significa somar infinitesimalmente todos os volumes elementares desde x=1 até x=3.

Passo 5

Calcular a integral: primeiro explico a primitiva que usaremos. A primitiva de x^{2} (ou seja, uma função cuja derivada é x^{2}) é \dfrac{x^{3}}{3}, porque ao derivar \dfrac{x^{3}}{3} usando a regra do poder obtemos x^{2}. Logo,
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração (não precisamos dela para integral definida). Como há um fator constante \pi, podemos colocá-lo fora da integral:
V=\pi \int_{1}^{3} x^{2}\,dx = \pi \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{3}.
O colchete \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{3} significa avaliar \dfrac{x^{3}}{3} em x=3 e subtrair o valor em x=1.

Passo 6

Avaliar os valores numéricos com cuidado:
\frac{3^{3}}{3} = \frac{27}{3} = 9,
\frac{1^{3}}{3} = \frac{1}{3}.
Subtraindo:
\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}.
Multiplicando pelo \pi externo:
V = \pi \cdot \frac{26}{3} = \frac{26\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{26\pi}{3}

Exercícios relacionados