Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares (
) tais que
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
do conjunto de pontos
tais que
e
. Informações importantes que o enunciado dá:
- O intervalo em
é . - Para cada
nessa faixa, varia de até (ou seja, a fronteira superior do conjunto é a reta ). - O eixo de rotação é o eixo
.
A pergunta é: qual é o volume desse sólido de revolução?
Passo 2
Ideia geométrica (passo-a-passo bem mastigado): pegue um valor fixo de
entre
e
. Para esse
há um segmento vertical de
até
. Se eu girar esse segmento em torno do eixo
, ele gera um disco (um cilindrinho muito fino) cujo raio é exatamente o comprimento do segmento, ou seja, o raio é a função
avaliada na borda superior. Esse disco tem espessura infinitesimal
. O volume de um disco de raio
e espessura
é área da base vezes espessura, ou seja:
Aqui
representa o volume elemental correspondente ao intervalo infinitesimal
.
Passo 3
Identificar o raio em função de
: como o segmento vertical vai de
até
, o raio do disco em abscissa
é
Explicando:
é a distância do eixo
até a borda superior do conjunto, que é a função
. Portanto usamos
na fórmula do disco.
Passo 4
Montar a integral do volume somando (integrando) todos os discos de
até
. Substituindo
em
obtemos a integral definida:
e, com
,
Aqui o símbolo
significa somar infinitesimalmente todos os volumes elementares desde
até
.
Passo 5
Calcular a integral: primeiro explico a primitiva que usaremos. A primitiva de
(ou seja, uma função cuja derivada é
) é
, porque ao derivar
usando a regra do poder obtemos
. Logo,
onde
é a constante de integração (não precisamos dela para integral definida). Como há um fator constante
, podemos colocá-lo fora da integral:
O colchete
significa avaliar
em
e subtrair o valor em
.
Passo 6
Avaliar os valores numéricos com cuidado:
Subtraindo:
Multiplicando pelo
externo: