Calcule a área da região limitada pela curva \rho=\cos 2 \theta dada em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pela curva dada em coordenadas polares \rho=\cos 2\theta. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A curva é dada por \rho=\cos 2\theta, onde \rho é a distância ao polo e \theta é o ângulo.
  • Queremos a área da região inteira limitada por essa curva (ou seja, de todos os “pétalos” que a curva forma).
  • Observação útil (tirada diretamente da equação): como a função envolve \cos 2\theta, a curva terá simetrias e vários “pétalos” (não vamos assumir número sem justificar, só é útil saber que há repetição ao longo de 0 a 2\pi).

Passo 2

Vamos lembrar e justificar a fórmula de área em coordenadas polares. Considere um pequeno setor radial entre \theta e \theta+\Delta\theta. A área aproximada desse setor, se a curva tiver raio \rho(\theta), é a área de um setor de círculo de raio \rho(\theta) e ângulo \Delta\theta:
\Delta A \approx \frac{1}{2}\,\rho(\theta)^2\,\Delta\theta.
Passando ao limite \Delta\theta\to0 obtemos o elemento de área em polares
dA=\frac{1}{2}\,\rho(\theta)^2\,d\theta.
Portanto, a área total de uma curva polar \rho(\theta) integrada entre \theta=a e \theta=b é
A=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\rho(\theta)^2\,d\theta.
Aqui \rho(\theta) é a função do raio (distância ao polo) para cada ângulo \theta.

Passo 3

Escolha do método: a forma mais direta e segura é usar a fórmula acima e integrar \rho^2 ao longo de um intervalo que percorre a curva inteira. Como a curva é dada por \rho=\cos 2\theta e \cos 2\theta tem período \pi, a curva completa é traçada quando \theta vai de 0 a 2\pi. Também poderíamos calcular a área de um pétalo (onde \rho\ge0) e multiplicar pelo número de pétalos; aqui vou fazer a integral direta em 0 a 2\pi (é mais simples) e depois checar por simetria via a área de um pétalo. Então usamos
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \big(\cos 2\theta\big)^2\,d\theta.

Passo 4

Vamos calcular a integral. Primeiro use a identidade trigonométrica para \cos^2:
\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}.
Aplicando com x=2\theta temos
\big(\cos 2\theta\big)^2=\frac{1+\cos 4\theta}{2}.
Substituindo na expressão da área:
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos 4\theta}{2}\,d\theta =\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}\big(1+\cos 4\theta\big)\,d\theta.
Agora integramos termo a termo. A integral de 1 em 0 a 2\pi é 2\pi. A integral de \cos 4\theta é \frac{1}{4}\sin 4\theta, que avaliada em 0 a 2\pi dá zero (pois \sin(8\pi)=\sin 0=0). Assim
A=\frac{1}{4}\left[\theta+\frac{1}{4}\sin 4\theta\right]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{4}\big(2\pi-0+0\big) =\frac{\pi}{2}.

Passo 5

(Verificação alternativa por pétalo) Para reforçar a compreensão: a curva \rho=\cos 2\theta tem quatro pétalos. Um pétalo corresponde ao intervalo onde \cos 2\theta\ge0, por exemplo \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right]. A área de um pétalo é
A_{\text{pétalo}}=\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^2(2\theta)\,d\theta.é
Usando a mesma identidade e integrando obtemos A_{\text{pétalo}}=\dfrac{\pi}{8}é. Multiplicando por 4 pétalos dá novamente
A=4\cdot\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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