Calcule a área da região limitada pela curva
dada em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada pela curva dada em coordenadas polares
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A curva é dada por
, onde é a distância ao polo e é o ângulo. - Queremos a área da região inteira limitada por essa curva (ou seja, de todos os “pétalos” que a curva forma).
- Observação útil (tirada diretamente da equação): como a função envolve
, a curva terá simetrias e vários “pétalos” (não vamos assumir número sem justificar, só é útil saber que há repetição ao longo de a ).
Passo 2
Vamos lembrar e justificar a fórmula de área em coordenadas polares. Considere um pequeno setor radial entre
e
. A área aproximada desse setor, se a curva tiver raio
, é a área de um setor de círculo de raio
e ângulo
:
Passando ao limite
obtemos o elemento de área em polares
Portanto, a área total de uma curva polar
integrada entre
e
é
Aqui
é a função do raio (distância ao polo) para cada ângulo
.
Passo 3
Escolha do método: a forma mais direta e segura é usar a fórmula acima e integrar
ao longo de um intervalo que percorre a curva inteira. Como a curva é dada por
e
tem período
, a curva completa é traçada quando
vai de
a
. Também poderíamos calcular a área de um pétalo (onde
) e multiplicar pelo número de pétalos; aqui vou fazer a integral direta em
a
(é mais simples) e depois checar por simetria via a área de um pétalo. Então usamos
Passo 4
Vamos calcular a integral. Primeiro use a identidade trigonométrica para
:
Aplicando com
temos
Substituindo na expressão da área:
Agora integramos termo a termo. A integral de
em
a
é
. A integral de
é
, que avaliada em
a
dá zero (pois
). Assim
Passo 5
(Verificação alternativa por pétalo) Para reforçar a compreensão: a curva
tem quatro pétalos. Um pétalo corresponde ao intervalo onde
, por exemplo
. A área de um pétalo é
Usando a mesma identidade e integrando obtemos
. Multiplicando por
pétalos dá novamente
confirmando o resultado anterior.