Calcule a integral
\int_{2}^{4} \int_{1 / z}^{1} \int_{0}^{\sqrt{y z}} x y z d x d y d z

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • Pede calcular a integral tripla
\int_{2}^{4}\int_{1/z}^{1}\int_{0}^{\sqrt{y z}} x\,y\,z \,dx\,dy\,dz.
  • As variáveis de integração são x, y e z.
  • Os limites são:
    • para x: de 0 a \sqrt{y z};
    • para y: de 1/z a 1;
    • para z: de 2 a 4.
  • A integranda é o produto \,x\,y\,z.
  • Objetivo: calcular o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Estratégia e lembrete das regras de integração que vou usar (sem pular etapas).
  • A integral já vem com uma ordem: primeiro integrar em x, depois em y e por último em z. Vou seguir essa ordem porque é direta.
  • Fórmulas que vou usar:
    • Regra do poder: \displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq-1).
    • Constantes podem ser tiradas da integral: se algo não depende da variável de integração, podemos fatorá-lo para fora.
    • Integral de x em [0,a]: \displaystyle \int_0^a x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^a=\frac{a^2}{2}.
  • Aqui a integranda vista em relação a x é x vezes a constante y z (pois y e z são tratadas como constantes ao integrar em x). Vou aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Integração em x (interna): calcular
\int_{0}^{\sqrt{y z}} x\,y\,z \,dx.
  • Como y e z são constantes em relação a x, fatoro-os:
\int_{0}^{\sqrt{y z}} x\,y\,z \,dx = y z \int_{0}^{\sqrt{y z}} x\,dx.
  • Aplicando a regra do poder para x:
\int_{0}^{\sqrt{y z}} x\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{\sqrt{y z}} = \frac{(\sqrt{y z})^2}{2} - 0 = \frac{y z}{2}.
  • Portanto
\int_{0}^{\sqrt{y z}} x\,y\,z \,dx = y z \cdot \frac{y z}{2} = \frac{y^2 z^2}{2}.

Passo 4

Agora a integral fica dupla em y e z. Substituo o resultado obtido:
\int_{2}^{4}\int_{1/z}^{1}\frac{y^2 z^2}{2}\,dy\,dz.
Vou integrar primeiro em y.

Passo 5

Integração em y: calcular
\int_{1/z}^{1} \frac{y^2 z^2}{2}\,dy.
  • Posso tirar \dfrac{z^2}{2} como constante (não depende de y):
\frac{z^2}{2}\int_{1/z}^{1} y^2\,dy.
  • Aplicando a regra do poder para y^2:
\int y^2\,dy = \frac{y^3}{3}.
  • Avaliando nos limites:
\int_{1/z}^{1} y^2\,dy = \left.\frac{y^3}{3}\right|_{1/z}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(1/z)^3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3z^3}.
  • Multiplicando pela constante:
\frac{z^2}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{3z^3}\right) = \frac{z^2}{6}\left(1 - \frac{1}{z^3}\right).
  • Simplificando a expressão algébrica:
\frac{z^2}{6}\left(1 - \frac{1}{z^3}\right) = \frac{1}{6}\left(z^2 - \frac{1}{z}\right),
pois z^2\cdot\frac{1}{z^3}=\frac{1}{z}.

Passo 6

Agora resta integrar em z o resultado obtido. A integral reduz-se a
\int_{2}^{4} \frac{1}{6}\left(z^2 - \frac{1}{z}\right)\,dz.
Vou lembrar as primitivás necessárias:
  • Para z^2: \displaystyle \int z^2\,dz=\frac{z^3}{3}.
  • Para z^{-1}: \displaystyle \int z^{-1}\,dz=\ln z.

Passo 7

Calcular a integral em z:
\int_{2}^{4} \frac{1}{6}\left(z^2 - \frac{1}{z}\right)\,dz = \frac{1}{6}\left(\int_{2}^{4} z^2\,dz - \int_{2}^{4} \frac{1}{z}\,dz\right).
Avalio cada termo:
\int_{2}^{4} z^2\,dz = \left.\frac{z^3}{3}\right|_{2}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{8}{3} = \frac{56}{3}.
\int_{2}^{4} \frac{1}{z}\,dz = \left.\ln z\right|_{2}^{4} = \ln 4 - \ln 2 = \ln\!\left(\frac{4}{2}\right) = \ln 2.
Portanto
\int_{2}^{4} \frac{1}{6}\left(z^2 - \frac{1}{z}\right)\,dz = \frac{1}{6}\left(\frac{56}{3} - \ln 2\right).

Passo 8

Simplificar a expressão final:
\frac{1}{6}\left(\frac{56}{3} - \ln 2\right) = \frac{56}{18} - \frac{1}{6}\ln 2.
Reduzindo \dfrac{56}{18} dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{56}{18} = \frac{28}{9}.
Logo a integral vale
\frac{28}{9} - \frac{1}{6}\ln 2.

Resposta

\displaystyle \frac{28}{9} - \frac{1}{6}\ln 2

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